Connessione per archi
In questa sezione indicheremo con [0, 1] = I l’intervallo chiuso in R con la topologia indotta da quella euclidea su R.
Definizione 3.1
Sia X uno spazio topologico, un arco di X è una applicazione continuaUno spazio topologico X tale che " a, b Î X esiste un arco a in X di punto iniziale a e punto finale b è detto connesso per archi. Un sottoinsieme S di X è detto connesso per archi se con la topologia indotta, S è uno spazio topologico connesso per archi.
Proposizione 3.3
Attenzione!! Non vale il viceversa, cioè connesso non implica connesso per archi!
Proposizione 3.4
Sia f : X ® Y continua; X connesso per archi Þ f(X) è connesso per archi.
Osservazione 3.5 La connessione per archi è una proprietà topologica.
Proposizione 3.6
Definizione 3.7
Per ogni p Î X la componente connessa per archi che contiene p è denotata con Ca(p)
Proposizione 3.8
Per ogni punto x di uno spazio topologico X, Ca(x) è il più grande sottoinsieme di X connesso per archi che contiene x.
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