Esempi sulla Connessione per Archi

 

 

Esempio 1

 

Rn connesso per archi perch " a, b Rn il segmento che li congiunge un arco.

Vediamo R2:

 

Esempio 2

 

D1((0,0)) R2 connesso per archi:

 

 

Esempio 3

 

I n connesso per archi.

Vediamo I 2:

 

 

Esempio 4

 

Consiederiamo l'insieme X = A B come in figura. X non connesso per archi, infatti A e B sconnettono l'arco a(I).

 

 

Esempio 5

 

In R2 se il sottoinsieme non convesso, non possibile usare il segmento come arco; occorre trovare un punto al centro in modo da costruire l'arco come in figura.

 

 

Esempio 6

 

S1 connessa per archi, infatti siano:

f: [0,1] S1 ove f(t) = (cos2pt, sen2pt); f[q, j] : [q, j] S1 e sia g: [0,1] [q, j] omeomorfismo, allora definiamo l'arco: a = fg.

 

 

 

Esempio 7

 

S n connesso per archi. Vediamo il caso S 2:

p piano per 0 e a, p S 2 S1;

p' piano per 0 e b, p' S 2 S1;

vediamo che le due circonferenze intersecandosi formano un arco che unisce a e b.

 

 

 

Esempio 8

 

Vediamo un esempio di insieme connesso ma non connesso per archi:

sia C = {(1/n, y) | 0 y 1 e n 1} e l'intervallo unitario dell'asse x

Ix = {(x, 0) | 0 x 1}

vediamo che l'insieme Ix C connesso per archi, quindi connesso. Consideriamo ora il punto p = (0,1), l'insieme

X = Ix C {p}

 

connesso perch p appartiene alla chiusura di Ix C (in particolare appartiene al suo derivato). D'altra parte X non connesso per archi. Per mostrare questo sufficiente far vedere che se a : [0,1] X un arco tale che a(0) = p allora " t [0,1], a(t) = p. In altri termini, ogni arco che ha come punto iniziale p resta tutto contenuto in p stesso.

Sia

G = a -1(p) [0,1];

G chiuso perch a continua. Sia t G e D = D1/2 (p), per la continuit di a, esisted > 0 tale che

a((t - d, t + d)) D X.

Ma a((t - d, t + d)) un connesso che contiene p, quindi coincide con p, perch ogni sottoinsieme di DX contenente p sconnesso se contiene altri punti. Quindi

(t - d, t + d) G

ne segue che G aperto e chiuso in [0,1] G = [0,1], perch [0,1] connesso.

 

 

 

Esempio 9

 

L'immagine continua di un connesso per archi connessa per archi; ad esempio:

sia f: [0,1] S1, ove f(t) = (cos2pt, sen2pt);
f continua e suriettiva, allora S1 connessa per archi.

 

 

 

 

Esempio 10

 

X = A B, A e B sono le due componenti connesse per archi di X.

 

 

Esempio 11

 

Nell'esempio8, l'unica componente connessa per archi di X che contiene il punto p {p}.