6. Associazione fra due caratteri
     
  La ricerca scientifica non si limita alla descrizione dei singoli fenomeni, ognuno considerato indipendentemente dagli altri. Essa si interessa anche, e soprattutto, dell'analisi delle relazioni che ognuno di questi può avere con gli altri.
 

Definizione 25. Si parla di dipendenza logica tra due o più caratteri quando tra questi sono note a priori relazioni di causa ed effetto. Si parla invece di indipendenza logica quando si suppone a priori che tra questi non possa sussistere alcuna relazione di causa ed effetto.
A posteriori si potrà poi parlare di dipendenza o indipendenza statistica a seconda che la conoscenza della modalità di uno dei due caratteri possa migliorare oppure no la previsione della modalità dell'altro.
  Esempio 26.
  Nella ricerca dell'associazione tra caratteri si possono utilizzare due approcci: l'analisi della dipendenza, dove si studia come le modalità di un carattere dipendano da quelle di un altro carattere secondo un legame unidirezionale, o l'analisi dell'interdipendenza in cui si assume che i caratteri abbiano tutti lo stesso ruolo e che il legame tra essi sia bidirezionale.
Vedremo come questi due tipi di legame, quando realizzati in modo "perfetto" corrispondano alla nozione matematica di applicazione e di applicazione biunivoca, rispettivamente.
La tabella a doppia entrata è lo strumento più idoneo per indagare su relazioni esistenti tra le modalità di due caratteri qualitativi o quantitativi suddivisi in classi.
  Definizione 27. Il carattere X si dirà statisticamente indipendente da Y se, qualunque sia la modalità con cui si manifesta il carattere Y, la distribuzione relativa condizionata di X rimane sempre la stessa, cioè i profili colonna della tabella a doppia entrata sono tutti uguali fra loro: è indipendente da j, per .
  Si può facilmente dimostrare il seguente risultato.  
  Proposizione 28. Se X è indipendente da Y allora Y è indipendente da X. Inoltre due caratteri X e Y sono indipendenti se e solo se , e . In questo caso i profili colonna, tutti uguali fra loro, coincidono con la distribuzione relativa marginale di X; analogamente i profili riga coincidono con la distribuzione relativa marginale di Y.
  Esempio 29.  
 

Un altro tipo di relazione fra due caratteri è l'associazione spuria, ossia un legame statistico che si verifica tra due caratteri logicamente indipendenti, cosicché le relazioni osservate sono solo apparenti. Si noti che talvolta, l'associazione spuria tra due caratteri può essere dovuta alla presenza di uno o più caratteri non considerati che influenzano entrambi i caratteri osservati.

Analizziamo ora la situazione antitetica rispetto alla indipendenza perfetta.
  Definizione 30. Si dice che un carattere Y dipende perfettamente da X quando a ogni modalità di X è associata una ed una sola modalità di Y, cioè quando in una tabella a doppia entrata
  Osservazione 4. Se Y dipende perfettamente da X, indicati con A={} e B={} gli insiemi delle modalità assunte da X e da Y sul collettivo, rispettivamente, la legge che ad A fa corrispondere B tale che definisce una applicazione f di A in B. Indicando con x un generico elemento di A e con y=f(x) il suo corrispondente possiamo dire che y è funzione di x nell'usuale significato matematico dell'espressione.
  Definizione 31. Se X dipende perfettamente da Y e viceversa Y dipende perfettamente da X si parla di interdipendenza perfetta fra i due caratteri. In termini matematici, nella notazione introdotta nell'Osservazione 4 la funzione y=f(x) di A in B è biunivoca.
  Ogni situazione intermedia tra l'indipendenza e l'associazione perfetta esprime un certo grado di dipendenza o interdipendenza tra i caratteri, che sarà tanto maggiore quanto più la tabella osservata si discosta da quella di indipendenza a favore di una situazione di perfetta associazione.