Funzione di ripartizione o di distribuzione,
o delle probabilità cumulate (CDF)
"Non c'è nulla che colpisca più di questo fatto: via via che la  Matematica si elevava e appartava nelle regioni più alte del pensiero astratto, tornava poi a terra con uno strumento sempre più importante per l'analisi dei fatti concreti".


Alfred N. Whitehead (1861 -1947), La scienza e il mondo moderno, Boringhieri, Torino 1979

In alcune situazioni potremmo essere interessati non alla probabilità che la variabile casuale X assuma uno specifico valore, bensì alla probabilità che essa assuma un valore minore o uguale ad un dato valore x. In tal caso si devono considerare delle probabilità cumulate :
P(X ≤ x) che si riferiscono alla probabilità degli intervalli ( , x].

Data una variabile casuale X, la funzione che fa corrispondere ai valori di x, le probabilità cumulate P(X ≤ x) viene detta funzione di ripartizione è indicata con  ed è così definita:

La funzione di ripartizione è definita sia per le variabili casuali discrete che per le variabili casuali continue.

Osservazione:  Se due variabili casuali hanno la medesima funzione di ripartizione esse si dicono somiglianti.

Proprietà della funzione di ripartizione:

1.  

2.  l'ultima limite è la proprietà di normalizzazione.

3. 

4. dunque la funzione di ripartizione consente di stabilire la probabilità che la variabile casuale semplice X assuma valori compresi in intervalli di tipo , dove



5. Nel caso di una variabile casuale discreta, la funzione di ripartizione è continua a destra :
abbiamo anche: cioè la funzione di ripartizione presenta dei punti di discontinuità di 1° specie (o salti).


Osservazione: si chiama salto la quantità pari alla differenza tra i limiti:
 


dove la funzione è la funzione di massa che misura la probabilità che la variabile casuale semplice discreta X assuma valori uguale ad .

    Possiamo utilizzare la rappresentazione dei dati tramite una tabella:


dove x1, x2, x3, ..., xn sono i valori della variabile casuale discreta X e pi = P(X = xi) con . La funzione di ripartizione sarà:

dove è la funzione di massa della variabile casuale discreta X.
L'ampiezza del salto è data da :


Abbiamo:


Esempio 1:

Nel lancio di un dado non truccato gli unici risultati possibili sono le facce da 1 a 6, ciascuna con probabilità 1/6. La funzione di massa di probabilità di questa variabile casuale X e la funzione di ripartizione sono riportate nella seguente tabella:

X

f(x)=P(X)

F(x)

1

2

3

4

5

6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

2/6

3/6

4/6

5/6

6/6


Il grafico della funzione di ripartizione:

Come si nota, dalla F(x) si possono ricavare, in corrispondenza dei valori di x, le rispettive probabilità. Infatti, l'ampiezza del salto in x è pari alla probabilità P(X = x). Ad esempio, usando le proprietà della funzione di ripartizione, abbiamo:

P(X = 3) = P(X ≤ 3) - P(x < 3)= F(3) – F(2) = 3/6 – 2/6 =1/6

P(2 < X ≤ 5) = F(5) – F(2) = 5/6 – 2/6 = 3/6

P(2 ≤ X < 5) = F(5)- F(2) + P(X=2) - P(X=5) = 5/6 – 2/6 + 1/6 – 1/6 = 3/6

P(2 < X < 4) = F(4) – F(2) – P(4) = 4/6 – 2/6 – 1/6 = 1/6

P(2 ≤ X ≤ 6) = F(6) – F(2) + P(2) = 6/6 – 2/6 + 1/6 = 5/6


6. Nel caso di una variabile casuale continua, la funzione di ripartizione è continua è dunque:
Abbiamo dove è la funzione di densità della variabile casuale continua X. Per X variabile casuale continua abbiamo:



Nel caso di una funzione di densità costante di una variabile casuale continua X, abbiamo il grafico della funzione di densità ed il grafico della funzione di ripartizione (distribuzione) di probabilità cumulate:



La probabilità che la variabile casuale X assuma un  valore compreso nell'intervallo  [a,x]  è: P(a  ≤ X ≤  x) =  (x - a)/(b - a) . Essa rappresenta l'area sottesa dalla retta y = 1/ (b - a)  nell'intervallo [a,x].

 
Nel caso di una funzione di densità non costante di una variabile casuale continua X, abbiamo il grafico della funzione di densità ed il grafico della funzione di ripartizione (distribuzione) di probabilità cumulate :

7. Osservazione:
Nel caso di una variabile casuale mista che a tratti è discreta ed a tratti è continua, il grafico della sua funzione di ripartizione può essere :


La funzione di ripartizione nel caso di una variabile casuale mista, può essere decomposta nella somma di una funzione continua e di una funzione costante a tratti.

Osservazione:

Una variabile casuale è discreta se la sua funzione di ripartizione è una funzione a scala (costante a tratti). Una variabile casuale è continua se la sua funzione di ripartizione è una funzione continua.
Esempio 2:                                

Nel caso dell'esperimento casuale di lancio di una moneta bilanciata con spazio campionario Ω costituito dai punti campionari Croce è Testa. Ω:= {C,T}
Si assume la variabile casuale X: Ω→R , che ad ogni punto dello spazio (croce e testa) associa uno ed un solo numero reale, ad esempio 0 a C ed 1 a T; simbolicamente abbiamo: X(C)=0; X(T)=1.
Abbiamo = {0,1}, dunque X può assumere solo due valori 0 o 1.
P(X=0) = P(X=1) =
Costruiamo la funzione di ripartizione della variabile casuale X. Abbiamo:
Se x < 0 allora Fx(x) = P(X ≤ x) = 0 perché X non può essere < 0.
Se x = 0 allora Fx(0) = P(X = 0) = 1/2.
Se 0 < x < 1 abbiamo Fx(x) = P(X ≤ 0) = 1/2 perché la variabile aleatoria X è più piccola o uguale ad un numero nell'intervallo (0;1) se e solo se è più piccola o uguale a 0. Siccome P(X = 0) = 1/2 allora P(X ≤ 0) = 1/2.
Se x = 1 allora Fx(1) = P(X ≤ 1) = P (X = 0) + P(X = 1)=1/2 + 1/2 =1.
Se x > 1 allora Fx(x) = P(X ≤ x) = 1 semplicemente perché certamente la nostra variabile casuale X, che prende solo i due valori 0 e 1, sarà  ≤  di x ( con x > 1 per ipotesi)
  


Esempio 3:
Esperimento: lancio di 2 monete La relazione tra i valori di una v.a. e le probabilità ad essi corrispondente è espressa dalla legge di probabilità che può assumere forme diverse. Ω²= {(T,T);(T,C);(C,T);(C,C)}
La variabile casuale: X = numero totale degli esiti "testa";  X: Ω² → R ;
X è una variabile casuale discreta, i suoi possibili valori sono:
            • 0 (se non si ottiene alcuna testa)           X(C,C) =0
            • 1 (se una delle due monete dà testa)     X [(C,T),(T,C)]=1
            • 2 (se entrambe le monete danno testa)  X (T,T)=2
Abbiamo le probabilità:
            • P(X=0)=P(C,C)=1/4
            •  P(X=1)=P((T,C) oppure (C,T))=2/4=1/2
            •  P(X=2)=P(T,T)=1/4


Il grafico della funzione di ripartizione sarà:



Esempio 4:                              

Nel caso già studiato nell'esempio 3 della scheda "Funzione di massa di probabilità", nel caso del lancio di due dadi, considerando la  variabile causale X="somma dei due punteggi nel lancio di due dadi" possiamo aggiungere alla tabella della funzione di massa di probabilità, la riga corrispondente alla funzione di ripartizione:

X

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1/36

2/36

3/36

4/36

5/36

6/36

5/36

4/36

3/36

2/36

1/36

1/36

3/36

6/36

10/36

15/36

21/36

26/36

30/36

33/36

35/36

1
Il grafico della funzione di ripartizione sarà:

oppure come istogramma:


Osservazione:

La probabilità P (x > a) = 1- Fx(a) è detta probabilità di coda.

Uno dei maggiori vantaggi dell’uso della funzione di distribuzione è che permette un trattamento unificato del caso delle variabili aleatorie discrete e di quelle continue.

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