Proposizione 4 Sia un intero positivo. L’insieme ha elementi.
L'idea della dimostrazione è la seguente:
Si costruiscono tutte le permutazioni di ponendo i valori numerici nella seconda riga della tabella
in tutti i modi possibili.
Si consideri ; esso può assumere i valori , cioè ci sono modi per rimpiazzare con un valore numerico.
Una volta fissato , ci sono possibilità per : tutti gli interi , all’infuori di (è una biiezione!).
Fissato anche , per si hanno possibilità, e così via.
Il numero delle permutazioni di è allora
□
Esempio 5 Seguendo la dimostrazione della proposizione 4 , costruiamo le permutazioni di . Se ,
.
Per si hanno tre possibilità: , , .
Nel primo caso, , si ha:
e quindi ,
oppure
e quindi ,
cioè si ottengono le permutazioni
, .
Nel secondo caso, , si ha:
e quindi ,
oppure
e quindi ,
cioè si ottengono le permutazioni
, .
Infine se , si ha:
e quindi ,
oppure
e quindi ,
cioè si ottengono le permutazioni
, .
Abbiamo in questo modo ottenuto tutti i sei elementi di .