Proposizione 4   Sia  un intero positivo. L’insieme ha  elementi.

L'idea della dimostrazione è la seguente:

Si costruiscono tutte le permutazioni di  ponendo i valori numerici nella seconda riga della tabella

in tutti i modi possibili.

Si consideri ; esso può assumere i valori , cioè ci sono  modi per rimpiazzare  con un valore numerico.

Una volta fissato , ci sono  possibilità per : tutti gli interi , all’infuori di  (è una biiezione!).

Fissato anche , per  si hanno   possibilità, e così via.

Il numero delle permutazioni di  è allora

□

Esempio 5   Seguendo la dimostrazione della proposizione 4 , costruiamo le  permutazioni di . Se ,

.

Per  si hanno tre possibilità: , , .

Nel primo caso, , si ha:

 e quindi ,

oppure

 e quindi ,

cioè si ottengono le permutazioni

,      .

Nel secondo caso, , si ha:

 e quindi ,

oppure

 e quindi ,

cioè si ottengono le permutazioni

,      .

Infine se , si ha:

 e quindi ,

oppure

 e quindi ,

cioè si ottengono le permutazioni

,      .

Abbiamo in questo modo ottenuto tutti i sei elementi di .