Proposizione 1 Sia un insieme non vuoto. L’insieme
con l’operazione di composizione è un gruppo.
Dimostrazione. Per ogni si ha:
- , cioè la composizione di due applicazioni biunivoche è ancora un’applicazione biunivoca;
- la composizione è associativa, cioè .
Notiamo dapprima che le scritture hanno senso; inoltre si ha:
e
cioè
;
- la funzione identità su , , è l’elemento neutro di : infatti si ha
;
- l’applicazione inversa di , , è l’inverso di in :
.
□
Ogni elemento di viene chiamato permutazione, e viene denotato con
.
Esempio 3 In la permutazione che manda in , in , in si scrive come
.