Proposizione 1 Sia un insieme non vuoto.
L’insieme
con l’operazione di composizione è un gruppo.
Dimostrazione. Per ogni si ha:
-
, cioè la composizione di due applicazioni biunivoche è
ancora un’applicazione biunivoca;
-
la composizione è associativa, cioè .
Notiamo dapprima che le
scritture hanno senso; inoltre
si ha:
e
cioè
;
-
la funzione identità su ,
, è l’elemento neutro di
: infatti
si ha
;
-
l’applicazione inversa di ,
, è l’inverso di
in
:
.
□
Ogni elemento di
viene chiamato permutazione,
e viene denotato con
.
Esempio 3 In la permutazione che
manda
in
,
in
,
in
si scrive come
.
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