Definizione 1   Una coppia $(G,*)$, dove $G$ è un insieme non vuoto e $*$ è una operazione binaria su $G$

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc}
*: & G\times G &\longrightarrow & G \\
\quad &(a,b) & \longmapsto & a*b ,
\end{array}\end{displaymath}

è detta gruppo se valgono le seguenti proprietà:
1)
$*$ è associativa:
$\forall a,b,c \in G$ si ha $a*(b*c) = (a*b)*c$.
2)
Esiste $e$ in $G$ tale che $e*a = a*e =
a$;
$e$ è detto elemento neutro di $G$.
3)
Per ogni $a$ appartenente a $G$, esiste $a'$ in $G$ tale che $a*a'=a'*a = e$;
$a'$ è detto inverso di $a$ in $G$.
Se l'operazione $*$ è anche commutativa, cioè $a*b = b*a$, $\forall a,b\in G$, $(G,*)$ è detto gruppo abeliano o commutativo.


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