Definizione 1
Una coppia
, dove
è un insieme non vuoto e
è una operazione binaria su
è detta
gruppo
se valgono le seguenti proprietà:
1)
è associativa:
si ha
.
2)
Esiste
in
tale che
;
è detto elemento neutro di
.
3)
Per ogni
appartenente a
, esiste
in
tale che
;
è detto inverso di
in
.
Se l'operazione
è anche commutativa, cioè
,
,
è detto
gruppo abeliano
o
commutativo
.