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IL BIANGOLO

Vediamo ora un teorema molto interessante, che possiamo considerare l'analogo iperbolico del teorema 29 di Euclide, ovvero il primo di quelli dimostrati utilizzando il V postulato.
Il teorema 29 trattava di ciò che Euclide chiamava "una retta incidente su due parallele", che rappresentiamo in forma tronca nella seguente figura:

figura 1

Diamo un nome alla corrispondente figura iperbolica.

 DEFINIZIONE
 
Se dagli estremi di un segmento di retta data, e da uno stesso lato vengono tracciate due rette parallele asintoticamente l'una all'altra nella direzione in cui si allontanano da essa, la figura che ne risulta si dice biangolo, e il segmento dato ne è la base.

Esempi
XABY è un biangolo. Ha solo due angoli, da cui il nome, poiché i prolungamenti di AX e di BY non si incontrano mai. AB è la base.

WABZ non è un biangolo perché la direzione di parallelismo è verso AB e non a partire da AB come dovrebbe essere.
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Confrontiamo le rette trasversali euclidee con il biangolo iperbolico.
Se prolunghiamo la retta trasversale euclidea della figura1 otteniamo:


l'angolo a è detto esterno e nel teorema 29 Euclide aveva dimostrato che esso è uguale a b, che è l'angolo interno e opposto.

Consideriamo ora invece il biangolo, cosa succede se ne prolunghiamo in modo analogo la base AB? Cosa possiamo dire degli angoli ^CBY, che chiamiamo esterno, e ^BAX, che sarà il corrispondente angolo interno e opposto?


TEOREMA 8
 
In un biangolo un angolo esterno è maggiore dell'angolo interno e opposto.