Geometria iperbolica > Teoremi e definizioni > Le parallele asintotiche
TEOREMA 4
 
Se una retta è asintoticamente parallela, in una direzione data, ad un'altra retta, allora la seconda retta è asintoticamente parallela alla prima nella stessa direzione.
COROLLARIO
 
Se una retta è parallela divergente ad un'altra retta, allora la seconda retta è parallela divergente alla prima.
TEOREMA 5
 
Se due rette sono asintoticamente parallele, nella stessa direzione, alla medesima retta, allora esse sono asintoticamente parallele, in quella direzione, fra loro.
TEOREMA 6
 
Le parallele asintotiche si avvicinano l'una all'altra nella direzione del parallelismo.






Dire che le due parallele asintotiche si avvicinano l'una all'altra nella direzione del parallelismo significa che il segmento di perpendicolare tracciato dall'una all'altra si accorcia andando in quella direzione.

E' possibile dire di più, cioè che le parallele asintotiche non solo si avvicinano l'una all'altra ma, se prolungate nella direzione del parallelismo, diventano arbitrariamente vicine.
Ovvero è possibile rendere la lunghezza BC tanto piccola a piacere semplicemente scegliendo il punto B abbastanza lontano verso destra; naturalmente, essendo PX e QY parallele, BC non può mai diventare uguale a zero.
Ecco perchè le rette asintotiche vengono chiamate così! (Ricordiamo che in geometria analitica un asintoto di un grafico di una funzione è una retta alla quale il grafico si avvicina infinitamente senza mai raggiungerla.).
TEOREMA 7
 
Data una qualunque coppia di parallele asintotiche e una retta qualsiasi, su ognuna delle due parallele (o eventualmente sul loro prolungamento) esiste un punto tale che la perpendicolare condotta da quel punto all'altra parallela (o al suo prolungamento) è uguale alla retta data.