Geometria iperbolica > I modelli della geometria iperbolica> Poincaré

Dopo che fu sollevato il problema della coerenza della geometria iperbolica, i matematici non poterono fare a meno di interrogarsi circa la certezza della coerenza della geometria euclidea. Mai, in precedenza, tale questione era stata considerata seriamente. Platone concepiva la "linea retta" come il percorso (idealizzato) di un raggio di luce, così pure Euclide, nella sua Ottica fu concorde nel ritenere che i raggi di luce si propagassero lungo linee rette. Da allora in poi lo spazio fisico, con i raggi di luce come "linee rette" era stato considerato un ovvio modello per la geometria euclidea. Pertanto la coerenza di questa geometria non era mai stata messa in discussione.
Ma nel XX secolo diverse circostanze contribuirono a far vacillare tale certezza: da un lato si era diffusa la consapevolezza che nessun esperimento avrebbe potuto dimostrare la verità di un postulato euclideo, dall'altro erano stati proposti modelli di universo compatibili con l'esperienza umana, in cui le leggi euclidee però cessavano di valere.
Occorreva trovare un'alternativa efficace al modello tradizionale della geometria euclidea, e la scelta più naturale era quella della geometria analitica (o cartesiana) che è parte dell'analisi reale, e non della geometria.
Nel corso del XIX secolo l'intero edificio dell'analisi reale era stato rifondato sull'aritmetica dei numeri interi, base solida e semplice, la sua struttura logica era stata accuratamente vagliata. Perciò fine del secolo la fiducia dei matematici nella coerenza dell'analisi reale era praticamente incondizionato, e quel ramo della matematica sembrava poggiare su basi molto più solide di quelle della geometria euclidea.

Un nuovo modello poteva dunque essere un'interpretazione della geometria euclidea come quella che segue:

Questa interpretazione è un modello per la geometria euclidea perché trasformai postulati di Euclide in teoremi dell'analisi reale.
Il modello trasforma anche tutte le contraddizioni della geometria euclidea in contraddizioni dell'analisi reale, dunque la prima è coerente solo se lo è la seconda.

Bene, e ora perché non chiederci se l'analisi reale sia davvero coerente?

Ancora oggi la coerenza dell'analisi reale è un problema aperto.
Potrebbe esistere un modo per dimostrare la coerenza dell'analisi reale senza ricorrere ad un altro modello?

L'articolo di Godel giunse dopo una serie di paradossi logici scoperti nel primo decennio del secolo scorso e mai risolti in modo del tutto soddisfacente, e scosse fortemente la fiducia dei matematici nella coerenza dei sistemi matematici in generale.

Il logico J.B.Rosser negli anni cinquanta ha affermato:
"c'è l'imbarazzante possibilità che la matematica moderna sia in realtà gravemente in errore, e che quindi ogni sistema formale che riproduca ragionevolmente la matematica attuale debba contenere una contraddizione. Non crediamo che le cose stiano così, ma non possiamo addurre nessuna ragione per escluderlo".

Alla luce di tutto ciò, siamo sicuri che la geometria euclidea sia coerente?
Siamo costretti a rispondere: No.