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Consideriamo la figura


Q è il centro di C, A e B sono su un diametro e Q*Q è il semi-diametro perpendicolare; P1, P2, P3,…, sono punti su Q*Q, ognuno distante da Q la metà del precedente (dal punto di vista di un osservatore esterno); P1X1, P2X2, P3X3,…, sono le corrispondenti parallele asintotiche destre di AB (per chi sta all'interno di C sono gli archi ortogonali che uniscono quei punti a X*).
Si osservi che gli angoli di parallelismo X1P1Q, X2P2Q, X3P3Q,.., diventano sempre più prossimi ad un angolo retto.

Continuando questa analisi, consideriamo un punto P su Q*Q che sia vicinissimo a Q, tanto che solo con un potentissimo microscopio sia distinguibile da Q; in figura il cerchio tratteggiato a destra rappresenta un ingrandimento della regione intorno a Q.

PX è la parallela asintotica destra ad AB (vale a dire l'arco ortogonale passante per P e X*): l'angolo ^XPQ è estremamente prossimo ad un angolo retto.

Supponiamo che P sia così prossimo a Q che la differenza fra l'angolo ^XPQ e un angolo retto non possa essere rivelata dagli strumenti in possesso agli abitanti di C; e che gli abitanti siano estremamente piccoli e vivano tutti nelle vicinanze di Q e non abbiano mai raggiunto e nemmeno visto col telescopio un punto più distante di P da Q.
Abbiamo già osservato che la geometria all'interno di C è quella iperbolica, ma nella nostra discussione precedente avevamo tacitamente ammesso che gli abitanti fossero abbastanza grandi rispetto a C da accorgersene.
Con le ulteriori limitazioni che abbiamo imposto ora, gli abitanti si trovano nella situazione descritta nel trattare la "riconciliazione col buon senso", e giudicheranno euclideo lo spazio che li circonda; in realtà quello spazio è iperbolico, ma essi non saranno in grado di scoprirlo perché sembrerà loro che gli angoli di parallelismo siano sempre retti.

E se noi fossimo una versione tridimensionale degli abitanti del cerchio?
Immaginiamo che nello spazio euclideo ci sia un'enorme sfera dipinta all'interno di nero, con un raggio lunghissimo, miliardi di anni-luce, in modo da contenere tutto l'universo conosciuto. Immaginiamo di vivere vicino al centro e di essere molto piccoli rispetto alla sfera all'interno della quale i regoli di misura si contraggono e i raggi di luce deviano esattamente come abbiamo descritto per C.
Queste ipotesi sono perfettamente compatibili con la nostra esperienza.. Se fossero vere, lo spazio intorno a noi sarebbe iperbolico!