Geometria iperbolica > Teoremi e definizioni >Riconciliazione col buon senso

                    Utilizziamo l'angolo di parallelismo per riconciliarci col buon senso.

                    Fin qui ci siamo abituati allo strano comportamento delle parallele iperboliche,
                    la cui situazione tipica è la seguente

           


            Dove YPZ e WPX sono le parallele asintotiche per P ad AB, e CPD, la perpendicolare a PQ, è
            semplicemente una delle infinite parallele divergenti per P ad AB.
            Il buon senso, in realtà, ci direbbe che CD è l'unica parallela per P ad AB.

            Come possiamo riconciliare le due posizioni?

            Pensiamo a cosa accadrebbe se l'angolo di parallelismo p(l) fosse molto vicino ad un angolo retto, al
            punto tale che perfino in una figura molto precisa e disegnata con la massima cura, la retta PX
            sembrerebbe passare per il punto D.
          

            Occorrerebbe prolungare le rette PD e PX verso destra fino a una distanza astronomica perché
            diventasse visibile la loro separazione.

            Ma allora la geometria iperbolica potrebbe essere effettivamente vera, e noi potremmo non
            essercene mai accorti perchè ^ZPX è troppo piccolo.
            E' possibile che ^ZPX sia così piccolo?
            La geometria iperbolica ammette che p(l) sia così vicino ad un angolo retto?
            Il TEOREMA 8 ci suggerisce la risposta: è possibile a patto che l sia abbastanza piccola.

            Ce ne possiamo convincere ragionando come segue:
            dal punto Q tracciamo la perpendicolare ad AB e scegliamo P1 un punto qualsiasi su di essa.
            Utilizziamo il TEOREMA 10 e troviamo P2, ripetendo il ragionamento otteniamo una successione
            di punti P2, P3, P4, P5 ..tale che P2 sia il punto medio fra P1 e Q, P3 il punto medio fra P2 e Q, P4 il punto             medio fra P3 e Q e così via.

         


             Applichiamo poi ripetutamente il POSTULATO 1 e tracciamo le parallele asintotiche destre ad
            AB, P1X1, P2X2, P3X3 e così via. I corrispondenti angoli di parallelismo (che nella figura che
            segue numeriamo progressivamente) sono tutti <90° per il TEOREMA 2.
            In base al TEOREMA 5 ognuna delle rette P1X1, P2X2, P3X3.. è la parallela asintotica destra alla retta                immediatamente sottostante, si ha quindi una serie di biangoli.
            Ora applichiamo il TEOREMA 8 a ciascuno di essi e otteniamo la serie di disuguaglianze
                                                               a< b< g <d <..
            Gli angoli diventano sempre più grandi.
                In definitiva, più il punto P è vicino ad AB (basti pensare a P1, P2, P3.. come possibili posizioni per
            P), più il corrispondente angolo acuto è ^XPQ è prossimo a 90°.
            E' dunque possibile rendere ^XPQ=p(l) vicino a 90° quanto si voglia, semplicemente scegliendo P
            abbastanza vicino a Q.

            Perciò le parallele iperboliche assomigliano a quelle euclidee, purché PQ sia piccolo.

            Ma cosa significa questa condizione?
            Ponendo PQ sulla superficie terrestre, P dovrebbe essere più lontano della nebulosa di Andromeda
             perché fosse apprezzabile la differenza di ^XPQ da un angolo retto.
            Distanze astronomiche e angoli invisibili sfuggono al senso comune, che quindi ha pochi pregiudizi
            in proposito, e ora forse sarà più facile credere alla verità della geometria iperbolica.

            Così il POSTULATO 1 diventa intuitivamente accettabile!