Geometria iperbolica > I modelli della geometria iperbolica> Poincaré
Il modello di Poincaré consiste nel seguente "dizionario":
Termini primitivi
Interpretazione
Punto
Punto interno ad un cerchio fissato C nel piano euclideo
Linea
Parte interna a C di una linea euclidea
Linea retta
Parte interna a C di un diametro di C o di un cerchio ortogonale a C
Piano
Interno del cerchio C
Punto su una retta
 Punto che appartiene in senso euclideo alla retta
Punto tra due punti di una retta
 Punto tra i due punti della retta
Lunghezza di un segmento AB
 |log (ABUV)| (*) dove U e V sono i punti di C che si trovano sulla retta passante per A e B
Ampiezza di un angolo
 Ampiezza in radianti dell'angolo euclideo tra le semirette lati dell'angolo (**)
Segmenti congruenti
 Segmenti di uguale lunghezza
Angoli congruenti
 Angoli di uguale ampiezza

 

(*) In questa espressione compare il birapporto;

DEFINIZIONE
 
Il birapporto di quattro punti allineati A, B, C, D, che indichiamo (ABCD), è definito mediante la seguente espressione:
(ABCD) = AC BD / AD BC
dove AC, AD, BC, BD denotano segmenti orientati.

Questa definizione può essere estesa, con opportune modifiche, anche a punti non allineati, come possono essere quelli appartenenti ad una conica.

Nel birapporto (ABUV) i segmenti sono intesi nel senso euclideo.
 

(**)
 Dati tre punti A, B, e C, la misura dell'angolo ^ABC che ha per lati le linee AB e BC (semirette per gli abitanti di C) è uguale a quella dell'angolo euclideo ^A'B'C' dove A'B' e B'C' sono tangenti in B alle linee precedenti.
 
Tramite questa interpretazione i postulati della geometria iperbolica diventano teoremi della geometria euclidea, e per questo motivo ogni contraddizione eventualmente deducibile dai postulati iperbolici potrebbe essere tradotta, ricorrendo a questo "dizionario", in una contraddizione deducibile dai teoremi euclidei corrispondenti.
Ma poiché la nostra ipotesi è che non vi siano contraddizioni nella geometria euclidea, non ve ne saranno nemmeno in quella iperbolica.
Possiamo concludere che la geometria iperbolica è coerente solo se lo è quella euclidea.
Vale anche il viceversa: la geometria euclidea è coerente solo se lo è quella iperbolica, quindi l'affermazione diventa più forte, e ci permette di stabilire una perfetta equivalenza delle due geometrie rispetto al requisito di non contraddittorietà.
Riflettiamo ancora:
cosa possiamo rispondere alla secolare questione del V postulato, e cioè se il V postulato sia deducibile dalla geometria neutrale?

Se la geometria euclidea è coerente, la risposta è no!
Se infatti il V postulato fosse deducibile dalla geometria neutrale, allora sarebbe un teorema della geometria iperbolica. Ma in questo modo sarebbe in contraddizione con il POSTULATO 1 e quindi la geometria iperbolica non sarebbe coerente. Ma abbiamo appena visto che se la geometria euclidea è coerente, allora lo è anche quella iperbolica, quindi
se la geometria euclidea è coerente, il V postulato non può essere dedotto dalla geometria neutrale.
[Più semplicemente, se il V postulato fosse conseguenza logica degli altri postulati, ovvero della geometria neutrale, ogni insieme di enti che soddisfa tali proposizioni dovrebbe soddisfare anche il V postulato. Ma abbiamo appena visto che gli enti del modello di Poincarè soddisfano tutti gli altri assiomi e non il V postulato.]