Geometria iperbolica > I modelli della geometria iperbolica> Poincaré
Infine gli abitanti di C accetterebbero come veri anche gli assiomi della geometria neutrale, ovvero le nozioni comuni 1-6, i postulati 1-4, e i postulati 6-10. In pratica gli abitanti accetterebbero come veri i postulati della geometria neutrale.
Per verificare questo fatto occorrerebbe addentrarsi all'interno della geometria euclidea e questa trattazione non lo prevede, possiamo però vedere alcuni semplici esempi.

Consideriamo il postulato 1 euclideo, che dice

"E' possibile tracciare una e una sola retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto".

Alla luce delle nozioni di "punto" e di "retta" che hanno gli abitanti del cerchio, questo è in effetti (dal nostro punto di vista) un enunciato relativo ai punti interni al cerchio, ai suoi diametri e agli archi ortogonali a C.
Traducendo nel nostro linguaggio la loro versione del postulato 1 euclideo, otteniamo:

(*)"Dati due punti interni a un cerchio fissato C, per essi è possibile tracciare uno e un solo diametro di C, oppure uno e un solo cerchio ortogonale a C (ma non entrambi)."

Questo è un teorema della geometria euclideo non elementare, e poiché noi siamo su un piano euclideo, per noi (*) è vero; essendo il postulato 1 euclideo il modo in cui gli abitanti di C esprimono lo stesso, anche per essi il postulato1 euclideo sarà vero.
Lo stesso accade per gli altri postulati della geometria neutrale; traducendoli dal linguaggio peculiare degli abitanti dello strano mondo descritto, ognuno di essi diventa un teorema dimostrabile di geometria euclideo, ed è quindi vero nel più vasto universo di cui C è parte.
Gli abitanti della geometria neutrale accetteranno tutti i postulati della geometria neutrale.

Proviamo ora a guardare le cose dal nostro punto di vista: il contesto ora è il piano euclideo e quindi tutti i teoremi euclideo sono veri, e sono veri per gli abitanti di C esattamente come lo sono per noi. L'unica differenza è che per il fenomeno che caratterizza il loro mondo, gli abitanti di C esprimono queste verità in termini differenti dai nostri: ciò che per noi è "punto all'interno di C" per loro è semplicemente un "punto", ciò che noi chiamiamo "parte" interna a C di un cerchio ortogonale è per loro una "retta infinita", e così via.
Non ci resta che concludere che, poiché gli abitanti del cerchio ritengono veri i postulati della geometria neutrale, e poiché l'enunciato (*) è il teorema che essi esprimerebbero nella forma del POSTULATO 1 (iperbolico), essi sceglieranno la geometria iperbolica come descrizione del loro mondo.

Il mondo che abbiamo descritto è un mondo iperbolico!