Geometria iperbolica > I modelli della geometria iperbolica>
Poincaré
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Infine
gli abitanti di C accetterebbero come veri anche gli assiomi
della geometria neutrale, ovvero le nozioni comuni 1-6, i
postulati 1-4, e i postulati 6-10. In pratica gli abitanti
accetterebbero come veri i postulati della geometria neutrale.
Per verificare questo fatto occorrerebbe addentrarsi all'interno
della geometria euclidea e questa trattazione non lo prevede,
possiamo però vedere alcuni semplici esempi.
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Consideriamo
il postulato 1 euclideo, che dice
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"E'
possibile tracciare una e una sola retta da un qualsiasi punto
ad ogni altro punto".
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Alla
luce delle nozioni di "punto" e di "retta"
che hanno gli abitanti del cerchio, questo è in effetti
(dal nostro punto di vista) un enunciato relativo ai punti
interni al cerchio, ai suoi diametri e agli archi ortogonali
a C.
Traducendo nel nostro linguaggio la loro versione del postulato
1 euclideo, otteniamo:
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(*)"Dati
due punti interni a un cerchio fissato C, per essi è
possibile tracciare uno e un solo diametro di C, oppure uno
e un solo cerchio ortogonale a C (ma non entrambi)."
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Questo
è un teorema della geometria euclideo non elementare,
e poiché noi siamo su un piano euclideo, per noi (*)
è vero; essendo il postulato 1 euclideo il modo in
cui gli abitanti di C esprimono
lo stesso, anche per essi il postulato1 euclideo sarà
vero.
Lo stesso accade per gli altri postulati della geometria neutrale;
traducendoli dal linguaggio peculiare degli abitanti dello
strano mondo descritto, ognuno di essi diventa un teorema
dimostrabile di geometria euclideo, ed è quindi vero
nel più vasto universo di cui C
è parte.
Gli abitanti della geometria neutrale accetteranno tutti i
postulati della geometria neutrale.
Proviamo ora a guardare le cose dal nostro punto di vista:
il contesto ora è il piano euclideo e quindi tutti
i teoremi euclideo sono veri, e sono veri per gli abitanti
di C esattamente come lo sono per
noi. L'unica differenza è che per il fenomeno che caratterizza
il loro mondo, gli abitanti di C
esprimono queste verità in termini differenti dai nostri:
ciò che per noi è "punto all'interno di
C" per loro è semplicemente
un "punto", ciò che noi chiamiamo "parte"
interna a C di un cerchio ortogonale
è per loro una "retta infinita", e così
via.
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Non ci resta che concludere
che, poiché gli abitanti del cerchio ritengono veri i
postulati della geometria neutrale, e poiché l'enunciato
(*) è il teorema che essi esprimerebbero nella forma
del POSTULATO
1 (iperbolico), essi sceglieranno la geometria iperbolica
come descrizione del loro mondo. Il
mondo che abbiamo descritto è un mondo iperbolico!
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