Geometria di Riemann > Descrizione della geometria sferica

Descrizione delle caratteristiche principali della geometria sferica

Pensiamo di dividere l'insieme dei punti del piano in coppie di punti, tali che ogni punto appartiene ad una sola coppia e i punti di ciascuna coppia sono distinti. Per due punti appartenenti a coppie distinte passa una sola retta, mentre per i due punti di una stessa coppia passano più rette.

Definiamo antipodali due punti appartenenti ad una stessa coppia.

In questa geometria le rette sono linee chiuse, due punti antipodali dividono la retta in due parti congruenti, e tutte le rette che passano per un punto dato passano anche per il suo antipodale.

Vediamo alcune delle principali caratteristiche di questa geometria:

- le rette sono linee chiuse

- due punti antipodali dividono una retta passante per essi in due parti congruenti

- tutte le rette sono congruenti, hanno tutte la stessa lunghezza (finita)

- per due punti passa almeno una retta, per coppie di punti antipodali ce ne possono essere infinite

- tutte le rette che passano per un punto dato passano anche per il suo antipodale

- la somma degli angoli di un triangolo è maggiore di 180°, essa tende a 180° à quando l'area del triangolo tende a 0. Parleremo in questo caso di eccesso angolare (in contrapposizione al difetto angolare della geometria iperbolica), che sarà dato da a+b+g-180°.
 
- non esistono triangoli o poligoni simili con aree differenti

- due rette perpendicolari alla stessa retta si intersecano; tutte le perpendicolari alla stessa retta passano per due punti antipodali

- due rette qualsiasi hanno un unica perpendicolare in comune

- non esistono rettangoli

- il teorema di Pitagora non vale, ma si avvicina al vero col tendere a zero dell'area del triangolo.