Geometria di Riemann > Il modello della sfera
Il modello sferico
La geometria sferica possiede un'immediata interpretazione nella geometria, questo è il motivo per cui è stata privilegiata in questa trattazione, essa infatti si presenta come un sistema geometrico che "descrive" la geometria di una superficie sferica dello spazio euclideo; la sguente tabella fornisce la "traduzione" dei termini della geometria sferica in quelli del suo modello euclideo.
 
piano
insieme di punti di una superficie sferica dello spazio euclideo
punto
punto della superficie sferica
retta
cerchio massimo della superficie sferica (si ottiene intersecando la superficie sferica con un qualsiasi piano passante per il centro della sfera)
appartenenza
usuale appartenenza in senso euclideo
punti antipodali
punti diametralmente opposti della superficie sferica
congruenza fra segmenti
congruenza fra gli archi di cerchio massimo in geometria euclidea
angolo tra due rette
angolo diedro tra i due piani che tagliano la sfera secondo le due rette, oppure
angolo che coincide con l'angolo delle due rette tangenti alla sfera nel punto di intersezione delle due rette e giacenti nei piani da esse individuati
congruenza tra angoli
congruenza tra angoli in senso euclideo
 
In base aqueste considerazioni è abbastanza intuitivo vedere che tutti gli assiomi della geometria sferica risultano essere proposizioni valide in geometria euclidea.

- Per due punti antipodali passano infinite rette,
infatti ogni piano passante per la retta che unisce i punti diametralmente opposti della sfera la taglia secondo un cerchio massimo passante per i due punti (basti pensare alla superficie terrestre e ai due poli, tutti i meridiani passano per essi.)

- Per due punti non antipodali passa una sola retta,
infatti i due punti sulla sfera individuano col centro di essa un unico piano che taglia sulla sfera un cerchio massimo passante per i due punti.

Anche l'assioma di Riemann è verificato,
infatti due rette si incontrano sempre, poichè due cerchi massimi sono individuati da due piani, entrambi passanti per il centro della sfera, che hanno quindi come intersezione una retta che taglia la sfera in due punti antipodali comuni alle due rette.

- Tutte le rette sono congruenti,
infatti tutti i cerchi massimi sono congruenti fra loro.

- Tutte le perpendicolari alla stessa retta passano per due punti antipodali,
infatti tutti i cerchi massimi perpendicolari ad un dato cerchio massimo si incontrano in due punti antipodali.

- Tutte le rette che passano per un punto dato passano anche per il suo antipodale,
infatti ogni cerchio massimo che passa per un punto passa anche per il suo antipodale.

E così via; l'immediata visualizzazione della geometria sferica mediante questa interpretazione consente di coglierne facilmente gli aspetti più caratteristici.