Le
principali caratteristiche non euclidee della geometria sulla
sfera
Aiutandoci sempre
con il modello sferico, immaginando dunque che il nostro ambiente
geometrico non sia più il piano euclideo ma la superficie
sferica S2, riesaminiamo rapidamente
le principali caratteristiche non euclidee di questa nuova
geometria.
Teniamo presente
che il piano e la superficie sferica sono ambienti bidimensionali,
anche se la sfera in sé è un oggetto tridimensionale.
- Le linee "rette"
sulla superficie sferica sono le circonferenze massime, infatti,
esse ci forniscono il percorso più breve tra due punti,
non antipodali, di S2. (L'analogia
tra le rette del piano euclideo e le rette della superficie
sferica è molto forte: entrambe sono caratterizzate
dal fatto di essere le linee più brevi, l'unica differenza
è che per punti antipodali si perde l'unicità
del percorso minimo!)
- per due punti del
piano euclideo passa una e una sola retta, lo stesso accade
per due punti non antipodali di S2,
ma per due punti antipodali passano infinite rette;
- due rette euclidee hanno al più un punto in comune
mentre due rette di S2 hanno
sempre due punti in comune;
- nel piano euclideo esistono rette parallele, mentre non
esistono rette parallele (cioè rette che non si intersechino)
in S2, ad esempio tutte le rette
perpendicolari ad una retta data, che nel piano euclideo sono
tutte parallele tra loro, in S2
si intersecano in una coppia di punti antipodali, detti in
questo caso poli (si pensi alla superficie terrestre:
i meridiani sono tutti perpendicolari all'equatore e si incontrano
ai poli);
- nel piano euclideo esiste una e una sola retta passante
per un dato punto P e perpendicolare a una data retta,
in S2 ciò è vero
se e solo se P non è un polo per la retta;
- le rette euclidee sono tutte infinitamente estese, mentre
in S2 hanno tutte la stessa lunghezza
finita;
- il piano euclideo è infinitamente esteso, mentre
S2 ha area finita;
- di tre punti qualsiasi di una retta euclidea, uno e uno
solo sta tra gli altri due, la stessa cosa non si può
dire per una retta di S2 trattandosi
di una linea chiusa, quindi se due punti nel piano euclideo
individuano un unico segmento, in S2
due punti individuano due segmenti.
- altra differenza con la geometria euclidea è il fatto
che la somma degli angoli di un triangolo in S2
è maggiore di due angoli retti.
In figura è rappresentato il modello della geometria
sferica, in cui il piano è rappresentato dalle coppie
di punti antipodali, e dalle rette che sono i cerchi massimi.
L'immagine mostra un triangolo con le tre altezze che si incontrano
nei poli; misurando gli angoli del triangolo si trova che
la loro somma è maggiore di 180°. |
