Geometria di Riemann > Geometria ellittica e fisica moderna

La geometria ellittica e la fisica moderna


A partire dalla pubblicazione del saggio di Riemann, vennero intraprese diverse ricerche nel campo della matematica pura e della fisica matematica che fanno uso del concetto di varietà. In particolare, si indagò sulla possibilità di estendere alcune discipline classiche della fisica matematica agli spazi a curvatura non nulla, nella speranza di trovare nuove soluzioni ai problemi rimasti irrisolti. La condizione indispensabile per queste ricerche era la necessità di esprimere le equazioni fondamentali della fisica matematica in una notazione generale che restasse valida per ogni tipo di spazio, euclideo e non. Da queste ricerche nasceva la nozione di tensore e di calcolo tensoriale elaborata da Ricci-Curbastro e Levi-Civita verso la fine del secolo. Intorno al 1912, Einstein si servì degli strumenti matematici elaborati da Gauss, Riemann, Levi-Civita e Ricci-Curbastro per elaborare la teoria della relatività generale. Nella conferenza di Kyoto del 1922, Einstein affermò:
 
Se tutti i sistemi sono equivalenti allora la geometria euclidea non può valere in ciascuno di essi. Abbandonare la geometria e conservare le leggi fisiche è come descrivere i pensieri senza parole. Bisogna cercare le parole prima di poter esprimere i pensieri. Che cosa si doveva cercare a questo punto? Tale problema rimase insolubile per me fino al 1912, quando all'improvviso mi resi conto che la teoria di Gauss delle superfici forniva la chiave per svelare questo mistero. Compresi che le coordinate di una superficie di Gauss avevano un profondo significato. Non sapevo però a quell'epoca che Riemann aveva studiato i fondamenti della geometria in maniera ancora più profonda. [...] Mi resi conto che i fondamenti della geometria avevano un significato fisico. Quando da Praga tornai a Zurigo, vi trovai il matematico Grossmann, mio caro amico: da lui appresi le prime notizie sul lavoro di Ricci e in seguito su quello di Riemann.
  



La geometria ellittica possiede un'interpretazione particolarmente importante nello spazio fisico, fornendo il quadro matematico per la teoria della relatività generale.
Einstein nella sua teoria suppone che la curvatura dell'universo sia influenzata dalla massa degli oggetti contenuti. Più un oggetto è denso, maggiore sarà la curvatura e quindi in quel punto lo spazio sarà più "spigoloso". Nei pressi della Terra questo fenomeno non è osservabile, ma già lo spazio nei pressi del Sole è sufficientemente curvo da deviare leggermente i raggi delle stelle che lo attraversano. Il fenomeno che si osserva è un apparente spostamento delle stelle dalla loro consueta posizione.
I corpi celesti più interessanti in questo campo sono i Buchi Neri, la cui origine è data da una stella massiccia che termina la sua vita in un corpo dalla densità e massa altissime, tali da trattenere la luce che emette. La teoria di Einstein prevede che lo spazio intorno ad un buco nero sia così deformato da provocare fenomeni molto strani. Per esempio, un raggio di luce che passasse alla distanza di una volta e mezzo il raggio dell'orizzonte degli eventi (limite oltre il quale nemmeno la luce può sfuggire) si fermerebbe su un'orbita intorno all'oggetto, se passasse più vicino formerebbe una curva molto stretta, simile ad una parabola, se passasse invece più lontano formerebbe una curva un po’ più larga. Si può notare che, se i raggi di luce rappresentano le rette, lo spazio intorno al buco nero è fortemente curvato, ed è descrivibile solo con una geometria non euclidea.
   

Geometria iperbolica