Negando il V postulato euclideo si può ammettere che per un punto esterno ad una retta passino, nel piano, almeno due rette che non la incontrano, ma anche che per il punto non passi alcuna retta che non incontra la retta data.
La prima ipotesi porta a sviluppare la geometria iperbolica, la seconda introduce un sistema in cui non esistono rette parallele: la geometria introdotta da Riemann.

Pensiamo di sostituire l'assioma della parallela così formulato da Hilbert

Da questo assioma segue immediatamente che non esistono rette parallele, per cui non valgono più né il V postulato euclideo, né le proposizioni ad esso equivalenti.
Il sistema della geometria di Riemann si basa sull'ipotesi che lo spazio sia finito, in particolare ciò fa riferimento alla retta che, a differenza dei casi euclideo e iperbolico, si comporta come una linea chiusa, avente cioè lunghezza finita pur essendo illimitata (si può continuare a percorrerla senza mai fermarsi).

Per assumere l'assioma di Riemann al posto di quello della parallela occorre apportare ulteriori modifiche al sistema di assiomi della geometria euclidea, in modo da non cadere in un'incoerenza del sistema stesso. Per non appesantire la trattazione viene omessa qui la descrizione della sistemazione hilbertiana della geometria, a chi fosse interessato ad approfondire l'argomento si consiglia il testo [AP] (da pagina 101).

Geometria sferica e geometria ellittica

Dall'introduzione dell'assioma di Riemann si possono ottenere, a seconda delle modifiche apportate agli assiomi, due geometrie: una detta sferica ed una detta ellittica.

Partendo dall' ipotesi che due rette in un piano hanno sempre almeno un punto in comune e che quindi in un piano non si può condurre (nel senso euclideo del termine) una retta parallela ad un'altra, per un punto ad essa esterno, si può arrivare a dimostrare che tutte le perpendicolari ad una retta r da una stessa parte di essa, passano per un punto P, equidistante da ogni punto di r.

Se immaginiamo, poi, tutte le rette della parte opposta, possiamo notare che queste si incontrano tutte in un punto P', con le stesse caratteristiche di P.

Al problema di sapere se P ed P' coincidono possiamo dare due risposte:

- P ed P' non coincidono, ma sono due punti distinti: due rette hanno perciò sempre due punti in comune e si intersecano in una coppia di punti distinti: questo sistema viene chiamato Geometria sferica, ed è assimilabile alla geometria euclidea della sfera se per "rette" assumiamo le circonferenze massime.

- P ed P' coincidono: due rette si incontrano in un solo punto e due punti distinti individuano una sola retta: questo secondo sistema viene chiamato Geometria ellittica.

C'è uno stretto legame fra le due, e se ci si limita a considerazioni di carattere locale le due teorie coincidono.