Esempio 4   L'insieme

\begin{displaymath}\mathbf{O(n)}:=\{A\in M_{n}(\mathbb{R} )\mid {}^{t}\!A\cdot A=I_{n}\}\end{displaymath}

è un sottogruppo di $GL_{n}(\mathbb{R} )$, detto gruppo ortogonale di ordine n.
Osserviamo innanzitutto che $O(n)$ è un sottoinsieme di $GL_{n}(\mathbb{R} )$:
$\forall A\in O(n)$, $\det ({}^{t}\!A\cdot A)=\det(I_{n})=1$, cioè $\det({}^{t}\!A)\cdot \det(A)=1$, e quindi $\det(A)\neq 0$, dunque $O(n)\subseteq GL_{n}(\mathbb{R} )$.
Inoltre, $\forall A\in O(n)$, moltiplicando entrambi i membri dell'uguaglianza ${}^{t}\!A\cdot A=I_{n}$ a sinistra per $A$, si ottiene $A\cdot ({}^{t}\!A\cdot A)=A\cdot I_{n}=I_{n}\cdot A$, cioè $(A\cdot{}^{t}\!A)\cdot A=I_{n}\cdot A$ da cui segue per cancellazione $A\cdot{}^{t}\!A=I_{n}$; dunque $A^{-1}= {}^{t}\!A$.
Verifichiamo allora che $O(n)$ è un sottogruppo: Possiamo anche osservare che se $A\in O(n)$, $\det(A)=\pm1.$
Infatti $1=\det(A\cdot{}^{t}\!A)=\det(A)\cdot \det({}^{t}\!A)=(\det(A))^{2}$, cioè $\det(A)=\pm 1$.

Esempio 5   Anche il sottoinsieme di $O(n)$,

\begin{displaymath}\mathbf{SO(n)}:=\{A\in O(n)\mid \det(A)=1\},\end{displaymath}

è un sottogruppo di $GL_{n}(\mathbb{R} )$, detto gruppo speciale ortogonale di ordine n. Si ha infatti: $SO(n)=SL_{n}(\mathbb{R} )\cap O(n)$.
Naturalmente $SO(n)$ è anche un sottogruppo di $O(n)$.


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