Esempio 1 Sia

un campo; denoteremo nel seguito con $M_{n}(K)$ l'insieme delle matrici $n\times n$ ad elementi in

. L'insieme $\mathbf{GL_{n}(K)}$ di tutte le matrici invertibili $n\times n$ a elementi in

, con il prodotto righe per colonne, è un gruppo il cui elemento neutro è la matrice $I_{n}$ . Infatti

il prodotto righe per colonne è un'operazione binaria su $GL_{n}(K)$ , ed è associativo;
$\forall A \in GL_{n}(K)$ , $A\cdot I_{n}=I_{n} \cdot A=A$ , e $I_{n}\in GL_{n}(K)$ ;
$\forall A \in GL_{n}(K)$ , $\exists A^{-1}\in GL_{n}(K)$ .

$GL_{n}(K)$ viene chiamato gruppo lineare generale di ordine n su .

Esempio 2 $GL_{n}(\mathbb{R} )$ è un sottogruppo di $GL_{n}(\mathbb{C} )$ . Infatti essendo $\mathbb{R}$ un sottoinsieme di $\mathbb{C}$ , $GL_{n}(\mathbb{R} )\subset GL_{n}(\mathbb{C} )$ , e si vede subito che $GL_{n}(\mathbb{R} )$ è un sottogruppo.

Esempio 3 Dato un campo

, l'insieme

$\begin{displaymath}\mathbf{SL_{n}(K)}:=\{A\in M_{n}(K)\mid \det(A)=1\}\end{displaymath}$

è un sottogruppo di $GL_{n}(K)$ , detto gruppo lineare speciale di ordine n.
Infatti è un sottoinsieme di $GL_{n}(K)$ in quanto $\det (A)\neq 0$ $\forall A \in SL_{n}(K)$ , e per le proprietà del determinante si ha:

$I_{n}\in SL_{n}(K)$ ;
se $A,B\in SL_{n}(K)$ , $\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B)=1\cdot 1=1$ , cioè $A\cdot B\in SL_{n}(K);$
se $A\in SL_{n}(K)$ , $\det(A^{-1})=(\det(A))^{-1}=1$ , cioè $A^{-1}\in SL_{n}(K).$