Esempio 6 Sia

un campo. L'insieme

$\begin{displaymath}\mathbf{D_{n}(K)}=\{\left(\begin{array}{cccc} a_{1}& 0 &\ldo... ...a_{n}\end{array}\right)\vert \; a_{1},\ldots,a_{n}\in K^{*}\}\end{displaymath}$

è un sottogruppo di $GL_{n}(K)$ .
Infatti $\forall A \in D_{n}(K)$ $\det(A)=a_{1}\cdot \ldots\cdot a_{n}\neq 0$ , cioè $D_{n}(K)\subseteq GL_{n}(K)$ , e indicando con $diag(a_{1},\ldots,a_{n})$ , la matrice diagonale che ha gli elementi $a_{1},\ldots,a_{n}$ sulla diagonale, si ha:

$I_{n}\in D_{n}(K)$ ;
se $A=diag(a_{1},\ldots,a_{n}), B=diag(b_{1},\ldots,b_{n})\in D_{n}(K)$ ,

$\begin{displaymath}A\cdot B=diag(a_{1}b_{1},\ldots,a_{n}b_{n})\in D_{n}(K);\end{displaymath}$
se $A=diag(a_{1},\ldots,a_{n})\in D_{n}(K)$ ,

$\begin{displaymath}A^{-1}=diag(a_{1}^{-1},\ldots,a_{n}^{-1})\in D_{n}(K).\end{displaymath}$

Esempio 7 Se è un campo, l'insieme

$\begin{displaymath}\mathcal{A}=\{aI_{n}\vert\; a\in K^{*}\}\end{displaymath}$

è un sottogruppo di $GL_{n}(K)$ (e anche di $D_{n}(K)$ ).
Infatti $\mathcal{A}\subseteq GL_{n}(K)$ , e si ha:

$I_{n}\in \mathcal{A}$ ;
se $A=aI_{n}, B=bI_{n}\in \mathcal{A}$ , $A\cdot B=abI_{n}\in \mathcal{A};$
se $A=aI_{n}\in \mathcal{A}$ , $A^{-1}=a^{-1}I_{n}\in \mathcal{A}.$