Esempio 8   L'insieme

\begin{displaymath}\mathbf{U(n)}=\{A\in M_{n}(\mathbb{C} )\vert\,{}^{t}\!\bar{A}\cdot
A=I_{n}\},\end{displaymath}

dove ${}^{t}\!\bar{A}$ è la trasposta della matrice coniugata di $A$ (ricordiamo che se $A=(a_{ij})$, $\bar{A}=(\overline{a_{ij}})$), è un sottogruppo di $GL_{n}(\mathbb{C} )$, chiamato gruppo unitario di ordine n.
Infatti $U(n)$ è un sottoinsieme di $GL_{n}(\mathbb{C} )$ in quanto

\begin{displaymath}\forall A\in U(n),\;1=\det({}^{t}\!\bar{A}\cdot A)=
\det({}^{t}\!\bar{A})\cdot \det(A),\end{displaymath}

cioè $\det(A)\neq 0$. Moltiplicando entrambi i membri dell'uguaglianza ${}^{t}\!\bar{A}\cdot
A=I_{n}$ a sinistra per $A$, si ottiene $A\cdot({}^{t}\!\bar{A}\cdot
A)=A\cdot I_{n}=I_{n}\cdot A$, cioè $(A\cdot{}^{t}\!\bar{A})\cdot
A=I_{n}\cdot A$ da cui per cancellazione $A\cdot{}^{t}\!\bar{A}=I_{n}$ e dunque $A^{-1}={}^{t}\!\bar{A}$. Inoltre: Inoltre, poiché $\det({}^{t}\!\bar{A})=\overline{\det(A)}$, si ha

\begin{displaymath}1=\det(I_{n})=\det({}^{t}\!\bar{A}\cdot
A)=\overline{\det(A)}\cdot \det(A)=\vert\det(A)\vert^{2},\end{displaymath}

quindi $\vert\det(A)\vert=1,\; \forall A\in U(n)$.

Esempio 9   Il sottoinsieme di $U(n)$,

\begin{displaymath}\mathbf{SU(n)}=\{A\in U(n)\vert\det(A)=1\},\end{displaymath}

è un altro sottogruppo di $GL_{n}(\mathbb{C} )$, chiamato gruppo speciale unitario di ordine n.
Si ha infatti $SU(n)=U(n)\cap SL_{n}(\mathbb{C} )$.
Naturalmente $SU(n)$ è anche sottogruppo di $U(n)$.


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