Esempio 8 L'insieme

$\begin{displaymath}\mathbf{U(n)}=\{A\in M_{n}(\mathbb{C} )\vert\,{}^{t}\!\bar{A}\cdot A=I_{n}\},\end{displaymath}$

dove ${}^{t}\!\bar{A}$ è la trasposta della matrice coniugata di

(ricordiamo che se $A=(a_{ij})$ , $\bar{A}=(\overline{a_{ij}})$ ), è un sottogruppo di $GL_{n}(\mathbb{C} )$ , chiamato gruppo unitario di ordine n.
Infatti

è un sottoinsieme di $GL_{n}(\mathbb{C} )$ in quanto

$\begin{displaymath}\forall A\in U(n),\;1=\det({}^{t}\!\bar{A}\cdot A)= \det({}^{t}\!\bar{A})\cdot \det(A),\end{displaymath}$

cioè $\det(A)\neq 0$ . Moltiplicando entrambi i membri dell'uguaglianza ${}^{t}\!\bar{A}\cdot A=I_{n}$ a sinistra per

, si ottiene $A\cdot({}^{t}\!\bar{A}\cdot A)=A\cdot I_{n}=I_{n}\cdot A$ , cioè $(A\cdot{}^{t}\!\bar{A})\cdot A=I_{n}\cdot A$ da cui per cancellazione $A\cdot{}^{t}\!\bar{A}=I_{n}$ e dunque $A^{-1}={}^{t}\!\bar{A}$ . Inoltre:

$I_{n}\in U(n)$ ;
se $A,B\in U(n)$ , ${}^{t}\!(\overline{A\cdot B})(A\cdot B)={}^{t}\!(\bar{A}\cdot\bar{B})(A\cdot B)={}^{t}\!\bar{B}\cdot {}^{t}\!\bar{A}\cdot A\cdot B=I_{n}$ , cioè $A\cdot B\in U(n)$ ;
se $A\in U(n)$ , ${}^{t}\!(\overline{A^{-1}})\cdot A^{-1}= {}^{t}\!(\overline{{}^{t}\!\bar{A}})\cdot {}^{t}\!\bar{A}=A\cdot {}^{t}\!\bar{A}=I_{n}$ . Allora $A^{-1}\in U(n)$ .

Inoltre, poiché $\det({}^{t}\!\bar{A})=\overline{\det(A)}$ , si ha

$\begin{displaymath}1=\det(I_{n})=\det({}^{t}\!\bar{A}\cdot A)=\overline{\det(A)}\cdot \det(A)=\vert\det(A)\vert^{2},\end{displaymath}$

quindi $\vert\det(A)\vert=1,\; \forall A\in U(n)$ .

Esempio 9 Il sottoinsieme di

$\begin{displaymath}\mathbf{SU(n)}=\{A\in U(n)\vert\det(A)=1\},\end{displaymath}$

è un altro sottogruppo di $GL_{n}(\mathbb{C} )$ , chiamato gruppo speciale unitario di ordine n.
Si ha infatti $SU(n)=U(n)\cap SL_{n}(\mathbb{C} )$ .
Naturalmente

è anche sottogruppo di