Esempio 10 Sia

uno spazio vettoriale su un campo

. L'insieme $\mathbf{GL(V)}$ di tutti gli automorfismi di

, è un gruppo rispetto all'operazione di composizione; infatti:

la composizione è interna a , ed è associativa;
$id_{V}\in GL(V)$ ;
$\forall f\in GL(V)$ , $\exists f^{-1}\in GL(V)$ .

Tale gruppo viene chiamato gruppo lineare generale di .

Esempio 11 Sia

un

-spazio vettoriale di dimensione finita, e sia $\mathcal{E}$ una sua base. L'insieme

$\begin{displaymath}\mathbf{SL(V)}:=\{f\in GL(V)\mid \det (f)=1\},\end{displaymath}$

è un sottogruppo di

. Infatti si ha:

$id_{V}\in SL(V)$ ( $M_{\mathcal{E}}(id_{V})=I_{n}$ , quindi $\det(id_{V})=1$ );
$\forall f,g \in SL(V)$ , $\det (f\circ g)=\det(M_{\mathcal{E}}(f\circ g))=\det(M_{\mathcal{E}}(f)\cdot ... ...\det(M_{\mathcal{E}}(f))\cdot \det(M_{\mathcal{E}}(g))=\det(f)\cdot \det(g)=1$ , cioè $f\circ g \in SL(V)$ ;
$\forall f\in SL(V)$ , $\det(f^{-1})=\det(M_{\mathcal{E}}(f^{-1}) = \det((M_{\mathcal{E}}(f))^{-1})=(\det(M_{\mathcal{E}}(f))^{-1}$ cioè $f^{-1} \in SL(V)$ .

è chiamato gruppo lineare speciale di .