Esempio 12 Se

è uno spazio vettoriale euclideo di dimensione finita, cioè un $\mathbb{R}$ -spazio vettoriale di dimensione finita su cui è assegnato un prodotto scalare $p(_{},_{})$ , l'insieme

$\begin{displaymath}\mathbf{O(V)}:=\{f\in GL(V)\mid f\; \mbox{\\lq {e} unitario}\},\end{displaymath}$

è un sottogruppo di

. Infatti, ricordando che

è unitario se

, $\forall v,w \in V$ , si ha:

$id_{V}\in O(V)$ ;
$\forall f,g \in O(V)$ , $p(f\circ g(v),f\circ g(w))=p(f(g(v)), f(g(w)))=p(g(v), g(w))=p(v, w)$ , cioè $f\circ g \in O(V)$ ;
$\forall f\in O(V)$ , $p(f^{-1}(v), f^{-1}(w))= p(f(f^{-1}(v)), f(f^{-1}(w)))=p(v,w)$ , cioè $f^{-1}\in O(V)$ .

è detto gruppo ortogonale di .

Esempio 13 Anche il sottoinsieme di

,

$\begin{displaymath}\mathbf{SO(V)}:=\{f\in O(V)\mid \det(f)=1\},\end{displaymath}$

è un sottogruppo di

, detto gruppo ortogonale speciale di ; si ha infatti $SO(V)=SL(V)\cap O(V)$ . Gli elementi di

vengono chiamati rotazioni.