Esempio 14 Sia

uno spazio vettoriale hermitiano, cioè un $\mathbb{C}$ -spazio vettoriale su cui è definito un prodotto hermitiano $h(_{},_{})$ .
L'insieme

$\begin{displaymath}\mathbf{U(V)}=\{f\in GL(V)\vert f \mbox{ \\lq {e} unitario}\}\end{displaymath}$

è un sottogruppo di

, detto gruppo unitario di . Infatti, ricordando che

è unitario se $\forall v , w\in V$

, si ha:

$id_{V}\in U(V)$ ;
se $f,g\in U(V)$ , $h(f\circ g(v),f\circ g(w))=h(f(g(v)),f(g(w)))=h(g(v),g(w))=h(v,w)$ , cioè $f\circ g \in U(V)$ ;
se $f \in U(V)$ , $h(f^{-1}(v),f^{-1}(w))=h(f(f^{-1}(v)),f(f^{-1}(w)))=h(v,w)$ , dunque $f^{-1}\in U(V)$ .

Esempio 15 Se

è uno spazio vettoriale hermitiano, l'insieme

$\begin{displaymath}\mathbf{SU(V)}=\{f\in U(V)\vert\det(f)=1\}\end{displaymath}$

è un sottogruppo di

detto gruppo unitario speciale di .
Si ha infatti $SU(V)=SL(V)\cap U(V)$ .