Proposizione 3   Sia $G$ un gruppo topologico e sia $H$ un suo sottogruppo. Allora:
a)
se $H$ è aperto, $H$ è anche chiuso;
b)
se $H$ è chiuso e $[G:H]$ è finito, $H$ è anche aperto;
c)
$H$ è aperto se e solo se $G/\mathcal{H}$ è discreto.
Dimostrazione
a), b)
Sia $\{a_{i}H\vert i\in I\}$ l'insieme dei laterali sinistri di $H$ in $G$ distinti, che costituiscono una partizione di $G$:

\begin{displaymath}G=\cap_{i\in I}a_{i}H.\end{displaymath}

Allora, se $H=a_{i_{0}}H$, $G\setminus H=\cap_{i\in I\setminus \{i_{0}\}}a_{i}H.$
Se $H$ è aperto, $a_{i}H$ è aperto $\forall i \in I$; allora $G\setminus H$ è aperto e dunque $H$ è chiuso.
Se $H$ è chiuso e $I$ è un insieme finito, $G\setminus H$ è chiuso e quindi $H$ è aperto.
c)
$G/\mathcal{H}$ è discreto se e solo se $\{[a]\}$ è aperto in $G/\mathcal{H}$, $\forall a \in G$, cioè se e solo se $aH$ è aperto in $G$, $\forall a \in G$, cioè se e solo se $H$ è aperto in $G$.

Proposizione 4   Sia $G$ un gruppo topologico e sia $H$ un suo sottogruppo. Lo spazio omogeneo $G/\mathcal{H}$ è $T_{2}$ se e solo se $H$ è chiuso in $G$.

Dimostrazione
Se $G/\mathcal{H}$ è $T_{2}$ ogni punto è chiuso, quindi $\{H\}$ è chiuso e dunque $\pi^{-1}(\{H\})=H$ è chiuso in $G$.
Viceversa, sia

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc}\varphi:&G\times G&\longrightarrow&G\\ &(x,y)&\longmapsto&xy^{-1}.\end{array}\end{displaymath}

$\varphi$ è continua e si ha

\begin{eqnarraystar}\varphi^{-1}(H)&=&\{(x,y)\vert xy^{-1}\in H\}=\\ &=&\{(x,y)\vert x=yh \;,\;h\in H\},\end{eqnarraystar}



cioè $\varphi^{-1}(H)$ è l'insieme $\Gamma$ di proposizione 3 della sezione "Gruppi d'omeomorfismi di uno spazio topologico", che è chiuso essendo $\varphi$continua. Allora ancora per proposizione 3 della sezione "Gruppi d'omeomorfismi di uno spazio topologico", $G/H$ è $T_{2}$.


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