Definizione 1   Sia $G$un gruppo topologico e sia $H$ un sottogruppo di $G$; il gruppo delle traslazioni destre $\{R_{h},\;h\in H\}$ è un gruppo d'omeomorfismi che agisce su $G$, e che verrà denotato con $\mathcal{H}$. Lo spazio topologico quoziente $G/\mathcal{H}$ è chiamato spazio omogeneo.
Si osservi che se $[a]\in G/\mathcal{H}$, $[a]$ è un laterale sinistro di $H$ in $G$:

\begin{eqnarraystar}[a]&=&\{b\in G\vert\;b=R_{h}(a),\; h\in H\}=\\ &=&\{b\in G\vert\;b=ah,\;h\in H\}=\\ &=&aH.\end{eqnarraystar}



Quindi $G/\mathcal{H}$ è l'insieme $G/{}_{H}\!\equiv$ con la topologia quoziente. Nel seguito useremo entrambe le notazioni, e $\pi:G\longrightarrow G/\mathcal{H}$ denoterà come al solito la proiezione canonica.

Proposizione 2   Se $G/\mathcal{H}$ è uno spazio omogeneo, l'applicazione

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc}\varphi:&G\times G/\mathcal{H}&\longrightarrow&G/\mathcal{H}\\ &(x,[y])&\longmapsto&[xy]\end{array}\end{displaymath}

è continua.

Dimostrazione
La $\varphi$ è ben definita; infatti se $[y]=[z]$, cioè $y=zh$, si ha $[xy]=[xz]$ perchè $xy=xzh$.
Sia $A$ un aperto di $G/\mathcal{H}$. Proviamo che $\varphi^{-1}(A)=\{(x,[y])\vert\,[xy]\in A\}$ è un aperto di $G\times G/\mathcal{H}$, mostrando che è intorno di ogni suo punto.
Sia $(a,[b])\in \varphi^{-1}(A)$ e sia $B=\pi^{-1}(A)$; $B$ è un aperto di $G$ ed è un intorno di $ab$. Esistono allora in $G$ due intorni aperti $B_{1}$ e $B_{2}$ di $a$ e $b$ rispettivamente, tali che $B_{1}B_{2}\subset B$. Quindi essendo $\pi(B_{2})$ un aperto di $G/\mathcal{H}$ ($\pi$ è aperta), $B_{1}\times \pi(B_{2})$ è un aperto di $G\times G/\mathcal{H}$ contenuto in $\varphi^{-1}(A)$.


previousup next