Definizione 1   Sia $X$ uno spazio topologico e sia $\mathcal{H}$ un sottogruppo di $Omeo(X)$. Diremo che $\mathcal{H}$ è un gruppo d'omeomorfismi che agisce su $X$. Due elementi $a,b$ di $X$ si dicono equivalenti se esiste un omeomorfismo $f$ di $\mathcal{H}$ per cui $f(a)=b$. Questa è una relazione di equivalenza su $X$.
Chiamiamo orbita di $a$ la classe di equivalenza di $a$, cioè l'insieme $[a]=\{f(a)\vert f\in \mathcal{H}\}$, e denotiamo con $X/\mathcal{H}$ lo spazio topologico quoziente.

Proposizione 2   Sia $\mathcal{H}$ un gruppo d'omeomorfismi che agisce su uno spazio topologico $X$; allora la proiezione canonica

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc} \pi:&X&\longrightarrow&X/\mathcal{H}\\ &a&\longmapsto&[a]\end{array}\end{displaymath}

è aperta.

Dimostrazione
Sia $A$ un aperto di $X$. Allora

\begin{eqnarraystar}\pi^{-1}(\pi(A))&=&\{a\in X\vert[a]\in \pi(A)\}=\\ &=&\cup_{... ...p_{f\in \mathcal{H}}\{f(a)\}=\\ &=&\cup_{f\in \mathcal{H}}f(A)\end{eqnarraystar}



è un aperto di $X$ essendo unione di aperti ($f$ è un omeomorfismo). Pertanto $\pi(A)$ è aperto in $X/\mathcal{H}$.

Proposizione 3   Sia $\mathcal{H}$un gruppo d'omeomorfismi che agisce su uno spazio topologico $X$. Se l'insieme

\begin{displaymath}\Gamma=\{(a,b)\in X\times X\vert\,\exists f \in \mathcal{H} \mbox{ tale che }b=f(a)\}\end{displaymath}

è chiuso in $X\times X$, $X/\mathcal{H}$ è $T_{2}$.

Dimostrazione
Segue immediatamente dal fatto che se $Y$ è uno spazio topologico, la diagonale è chiusa in $Y\times Y$ se e solo se $Y$ è $T_{2}$.

 

 

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