Proposizione 5   Sia $G$ un gruppo, e sia $\mathcal{N}$ una famiglia di sottoinsiemi di $G$ che soddisfa le proprietà $1)$, $2)$, $3)$, $4)$, $5)$, $6)$, della proposizione 4. Allora esiste un'unica topologia su $G$ per la quale $\mathcal{N}$ è il sistema degli intorni di $1$, compatibile con la struttura di gruppo.

Dimostrazione
Unicità. Se esiste una tale topologia, questa è unica in quanto $\forall a \in G$, il sistema degli intorni di $a$ è necessariamente $a\mathcal{N}$.
Esistenza. Sia

\begin{displaymath}\tau=\{U\subset G\vert\,\forall a \in U, \; \exists N \in \mathcal{N}:\; aN\subset U\}.\end{displaymath}

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Verifichiamo che $\tau$ è una topologia su $G$:
  • $\emptyset$, $G$ appartengono a $\tau$;
  • se $A _{i}\in \tau $, $ \forall i\in I$, $A:=\cup_{i\in I} A_{i}\in \tau$; infatti $\forall a \in A$, $\exists i \in I$tale che $ a\in A_{i}$; allora $\exists N \in \mathcal{N}$ per cui $aN\subset A_{i}$ e dunque $aN\subset A$.
  • se $A_{j}\in \tau$ con $j=1,\ldots,n$, $A:=\cap_{j=1}^{n}A_{j}\in \tau$; infatti $\forall a \in A$, $a\in A_{j}$, $\forall j=1,\ldots,n$; allora $\forall j=1,\ldots,n$, $\exists N_{j}\in \mathcal{N}$ tale che $aN_{j}\subset A_{j}$. Quindi se $N=\cap_{j=1}^{n}N_{j}$, $N\in \mathcal{N}$ per la proporietà $1)$, e $aN\subset A_{j}$ $\forall j=1,\ldots,n$, cioè $aN\subset A$.
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Proviamo ora che $\mathcal{N}$ è il sistema degli intorni di $1$ per la topologia $\tau$.
  • Ogni $N\in \mathcal{N}$ è intorno di $1$; infatti:
    $\forall N \in \mathcal{N}$ sia $U=\{a\in G \vert\,\exists N_{1}\in \mathcal{N} \mbox{ tale che }aN_{1}\subset N\}$.
    Dalla definizione di $U$ segue:

    \begin{displaymath}1\in U \subset N.\end{displaymath}

    Proviamo che $U\in \tau$. Sia $a\in U$; esiste $N_{1}\in \mathcal{N}$ tale che $aN_{1}\subset N$. Dalla proprietà $4)$ segue che esiste $N_{2}\in \mathcal{N}$ per cui $N_{2}N_{2}\subset N_{1}$; quindi $\forall b\in N_{2}$, $bN_{2}\subset N_{1}$, cioè $abN_{2}\subset aN_{1} \subset N$. Allora $ab\in U$ $\forall b\in N_{2}$, cioè $aN_{2}\subset U$. Dunque $U\in \tau$.
  • Ogni intorno $A$ di $1$ appartiene a $\mathcal{N}$; infatti:
    per ipotesi esiste $U\in \tau$ tale che $1\in U \subset A$. Allora $\forall a \in U$ esiste $N\in \mathcal{N}$ tale che $aN\subset U$, quindi in particolare $1N=N\subset U\subset A$. Dalla proprietà $3)$ segue allora che $A\in \mathcal{N}$.
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Proviamo che per ogni $a\in G$, $a\mathcal{N}$ è il sistema degli intorni di $a$.
  • Facciamo vedere che $aN$ è intorno di $a$, $\forall N \in \mathcal{N}$: sia $N\in \mathcal{N}$; esiste $U\in \tau$ tale che $1\in U \subset N$. Allora $a\in aU \subset aN$, e $aU$ è un aperto di $G$; infatti ogni elemento di $aU$ è della forma $ab$ con $b\in U$, ed esiste $N_{1}\in \mathcal{N}$ tale che $bN_{1}\in U$, cioè $abN_{1}\subset aU$.
  • Viceversa se $A$ è un intorno di $a\in G$, $\exists U \in \tau$ tale che $a\in U \subset A$.
    Allora $\exists N \in \mathcal{N}$ per cui $aN\subset U \subset A$, quindi $N=a^{-1}aN\subset a^{-1}A$ da cui per la proprietà $3)$ si ha $a^{-1}A\in \mathcal{N}$, cioè $A\in a\mathcal{N}$.
Dalla proprietà $6)$ segue che anche $\mathcal{N}a$ è il sistema degli intorni di $a$, cioè $a\mathcal{N}=\mathcal{N}a$. Infatti $aNa^{-1}\in \mathcal{N},\;\forall a\in G$, quindi $a^{-1}Na\in \mathcal{N}$, quindi $Na=a(a^{-1}Na)$ è intorno di $a$, e ogni intorno di $a$, $aN=(aNa^{-1})a$è della forma $N_{1}a$ con $N_{1}\in \mathcal{N}$.
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Rimane da provare che $\tau$ è compatibile con la struttura di gruppo di $G$:
consideriamo l'applicazione

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc}\varphi:& G\times G&\longrightarrow&G\\ &(x,y)& \longmapsto&xy^{-1}\end{array}\end{displaymath}

e proviamo che è continua.
Se $a,b \in G$, ogni intorno di $ab^{-1}$ è della forma $ab^{-1}N$ con $N\in \mathcal{N}$. Per la proprietà $4)$ $\exists N_{1}\in \mathcal{N}$ tale che $N_{1}N_{1}\subset N$, e per la proprietà $5)$ $N_{1}^{-1}\in\mathcal{N}$; inoltre, esiste $N_{2}\in \mathcal{N}$ tale che $b^{-1}N_{1}=N_{2}b^{-1}$.
Allora $aN_{2}\times N_{1}^{-1}b$ è un intorno di $(a,b)$ in $G\times G$ tale che

\begin{displaymath}\varphi(aN_{2}\times N_{1}^{-1}b)=aN_{2}b^{-1}N_{1}=ab^{-1}N_{1}N_{1}\subset ab^{-1}N,\end{displaymath}

cioè $\varphi$ è continua in $(a,b)$ per ogni $(a,b)\in G\times G$.


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