Proposizione 6   Un gruppo topologico $G$ è $T_{2}$ se e solo se $\cap_{N\in \mathcal{N}}N=\{1\}$, dove $\mathcal{N}$ è il sistema degli intorni di $1$.

Dimostrazione
Sia $G$uno spazio $T_{2}$. Se $a\in \cap_{N\in \mathcal{N}}N $ e $a\not=1$, esistono due intorni $A$ e $N$ di $a$ e $1$ rispettivamente, tali che $A\cap N =\emptyset$. Ma questo è assurdo poiché $a\in N$, $\forall N \in \mathcal{N}$. Dunque $a=1$.
Viceversa siano $a,b\in G$ distinti. Si ha $a^{-1}b\not=1$. Per ipotesi esiste allora $N_{1}\in \mathcal{N}$ tale che $a^{-1}b\not\in N_{1}$. D'altra parte $\exists N\in \mathcal{N}$ per cui $NN\subset N_{1}$.
Si ha allora $\{a^{-1}b\}\cap NN=\emptyset$, da cui segue $aN\cap bN^{-1}=\emptyset$, dove $aN$ e $bN^{-1}$ sono due intorni di $a$ e $b$ rispettivamente. Dunque $G$ è $T_{2}$.


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