Proposizione 4   Se $\mathcal{N}$ è il sistema degli intorni dell'elemento neutro di un gruppo topologico $G$, sono soddisfatte le seguenti proprietà:
1)
se $A,B \in \mathcal{N}$ allora $A\cap B\in \mathcal{N}$;
2)
$1\in N$, $\forall N \in \mathcal{N}$;
3)
se $A$ è un insieme contenente un intorno di $1$, anche $A$ è un intorno di $1$;
4)
$\forall N \in \mathcal{N}$, $\exists N_{1}\in \mathcal{N}$ tale che $N_{1}N_{1}\subset N$;
5)
$\forall N \in \mathcal{N}$, $N^{-1}\in \mathcal{N}$;
6)
$\forall N \in \mathcal{N}$, $\forall a \in G$, $aNa^{-1}\in \mathcal{N}$.
Dimostrazione
Le proprietà 1), 2), 3) sono un'immediata conseguenza della definizione di intorno di un punto.
4)
L'applicazione

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc} f:& G\times G&\longrightarrow&G\\ &(x,y)&\longmapsto&xy\end{array}\end{displaymath}

è continua, quindi, poichè $f((1,1))=1$, $\forall N \in \mathcal{N}$ $\exists N_{1}\in \mathcal{N}$ tale che $f(N_{1}\times N_{1})=N_{1}N_{1}\subset\mathcal{N}$.
5)
L'applicazione

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc}g:&G&\longrightarrow& G\\ &x&\longmapsto&x^{-1}\end{array}\end{displaymath}

è un omeomorfismo tale che $g(1)=1$. Allora $\forall N \in \mathcal{N}$, $g(N)=N^{-1}\in \mathcal{N}$.
6)
Se $a\in G$, anche l'applicazione

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc}f_{a}:&G&\longrightarrow&G\\ &x&\longmapsto&axa^{-1}\end{array}\end{displaymath}

è un omeomorfismo ( $f_{a}=R_{a^{-1}}\circ L_{a}$) che lascia fisso $1$. Quindi $f_{a}(N)=aNa^{-1}\in \mathcal{N}$, $\forall N \in \mathcal{N}$.


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