Osservazione 8   Se $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$ sono quattro elementi di un gruppo $G$, ci sono vari modi di moltiplicarli tra loro, conservando l'ordine; si hanno infatti le seguenti possibilità:

\begin{displaymath}a_{1}((a_{2} a_{3})a_{4}) , ((a_{1} a_{2})a_{3})a_{4},(a_{1}(... ..._{4} , a_{1}(a_{2}(a_{3} a_{4})),(a_{1} a_{2}) (a_{3} a_{4}).\end{displaymath}

La proposizione seguente mostra che tali prodotti hanno tutti lo stesso valore.

 

Proposizione 9   In un gruppo $G$ vale l'associativa generalizzata, cioè dati $a_{1},\ldots ,a_{n}\in G $, con $n\geq 3$, il loro prodotto, eseguito disponendo in modo qualunque le parentesi, dà un risultato che dipende solo da $a_{1} , \ldots , a_{n}$ e che quindi può essere denotato con $a_{1} \ldots a_{n}$ omettendo le parentesi.
La scrittura $a_{1} \ldots a_{n}$ indica quindi che gli $a_{i}$ vanno moltiplicati nell'ordine assegnato, associandoli però come si vuole.
Dimostrazione
Procediamo per induzione su $n$.
Se $n=3$ l'affermazione è la proprietà associativa del prodotto.
Supponiamo ora vera l'affermazione per ogni $k$ compreso tra $3$ e $n-1$ e proviamola per $n$.
Indichiamo con $u v$ e $t w$ due diversi prodotti di $a_{1} , \ldots , a_{n}$ , essendo $u$ e $v$ prodotti in cui compaiono $a_{1}, \ldots , a_{i}$ e $a_{i+1}, \ldots ,a_{n}$ rispettivamente e $t$ e $w$ prodotti in cui compaiono $a_{1}, \ldots ,a_{j}$ e $a_{j+1}, \ldots , a_{n}$ rispettivamente, con $1\leq i , j\leq n-1$. I prodotti $u,v,t,w$ sono eseguiti disponendo in un certo modo le parentesi; ad esempio:

\begin{displaymath}u v = ((a_{1}(a_{2}a_{3})\ldots)a_{i}) (a_{i+1}(\ldots(a_{n-1} a_{n})),\end{displaymath}


\begin{displaymath}t w = ((a_{1}a_{2})\ldots(a_{j-1}a_{j})) (a_{j+1}(a_{j+2}(\ldots a_{n})\ldots)).\end{displaymath}

Se $i = j$, per l'ipotesi induttiva, si ha:

\begin{displaymath}u = t\; e \;v = w\end{displaymath}

e quindi

\begin{displaymath}u v = tw.\end{displaymath}

Se invece $i < j$, ancora per l'ipotesi induttiva, si ha:

\begin{displaymath}u (a_{i+1}\ldots a_{j}) = t\end{displaymath}

e

\begin{displaymath}(a_{i+1} \ldots a_{j}) w = v\end{displaymath}

da cui segue:

\begin{displaymath}u v = u [(a_{i+1}\ldots a_{j}) w] = [u (a_{i+1} \ldots a_{j})] w = t w.\end{displaymath}

In ogni caso quindi $u v = t w$, cioè il prodotto di $a_{1} , \ldots , a_{n}$ non dipende da come vengono associati gli $a_{i}$.

Osservazione 10   Se $G$ è un gruppo, allora :

1)
valgono le leggi di cancellazione, cioè $\forall a , b , c \in G$, se $a c = bc$, allora $a = b$; se $ca=cb$, allora $a = b$.
Infatti moltiplicando entrambi i membri dell'uguaglianza $a c = bc$ per $c^{-1}$ si ha:

\begin{displaymath}a c c^{-1} = bc c^{-1} \;\mbox{ cio\\lq {e} }\; a1 = b 1 \end{displaymath}

che equivale a $a = b$, e analogamente per l'altra.
2)
se $a , b \in G$ vale $(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}$.
Infatti

\begin{displaymath}(a b) (b^{-1} a^{-1}) = abb^{-1} a^{-1} = a1a^{-1}= aa^{-1}=1 .\end{displaymath}

Analogamente si vede che $(b^{-1} a^{-1})(a b) = 1$, quindi $b^{-1}a^{-1}$ è l'inverso di $a b$ .

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