Esempio 5
Ricordiamo che se
e
sono applicazioni,
denota
l'applicazione:
Sia ora
un insieme non vuoto; l'insieme
con l'operazione di
composizione
è un gruppo. Infatti :
Se
,
il gruppo
è detto
gruppo
simmetrico su n lettere, ed è indicato con
.
Inoltre,
ogni elemento
di
,
viene chiamato permutazione, e
viene denotato con
La composizione di due permutazioni di
,
,
verrà indicato anche con
.
Per esempio, se
,
si ha:
La tavola di moltiplicazione di
,
costruita ponendo nella
casella
corrispondente all'intersezione della riga di
con la
colonna di
il prodotto
,
è la seguente:
Esempio 6
Sia
uno spazio topologico. L'insieme
di tutte le
applicazioni su
,
biunivoche e bicontinue (cioè tali che
e
sono continue), è un gruppo rispetto all'operazione di
composizione. Infatti:
- la composizione è un'operazione binaria su ,
ed
è associativa;
-
;
-
,
.
Proposizione 7
Se
e
sono due gruppi, con elementi neutri rispettivamente
e ,
il prodotto
è un gruppo con la seguente
operazione:
L'elemento neutro è
e
.
Dimostrazione
- L'associatività del prodotto segue dall'associatività
delle due operazioni di
e ;
- per ogni
,
;
- per ogni
,
.