Esempio 5 Ricordiamo che se $f:X\longrightarrow Y$ e $g:Y\longrightarrow Z$ sono applicazioni, $g\circ f$ denota l'applicazione:

$\begin{displaymath}\begin{array}{cccc} g\circ f: & X &\longrightarrow & Z\\ \quad & x & \longmapsto & g(f(x)).\end{array}\end{displaymath}$

Sia ora

un insieme non vuoto; l'insieme

$\begin{displaymath}S(X):= \{f:X\rightarrow X , \mbox{biunivoca}\}\end{displaymath}$

con l'operazione di composizione è un gruppo. Infatti :

la composizione è associativa:
notiamo dapprima che le scritture $h \circ (g \circ f)$ e $(h \circ g)\circ f$ hanno senso; inoltre $\forall x \in X$ ,

$\begin{displaymath}((h\circ g)\circ f)(x) = (h\circ g)(f(x)) = h(g(f(x)))\end{displaymath}$

e

$\begin{displaymath}(h\circ (g \circ f))(x) = h((g\circ f)(x)) = h(g(f(x)))\end{displaymath}$

cioè

$\begin{displaymath}(h\circ g)\circ f = h \circ (g \circ f) \quad \forall f,g,h \in S(X).\end{displaymath}$
la funzione identità su , $id_{X}$ , è l'elemento neutro di :
$\forall x \in X$ , $(f\circ id_{X})(x) = f(id_{X}(x)) = f(x) = id_{X}(f(x)) = (id_{X}\circ f )(x)$ , $\forall f\in S(X)$ ;
per ogni $f\in S(X)$ , l'applicazione inversa di , $f^{-1}: X\rightarrow X$ , è l'inverso di in : $f\circ f^{-1} = f^{-1}\circ f = id_{X}$ .

Se $X=\{1,\ldots,n\}$ , il gruppo

è detto gruppo simmetrico su n lettere, ed è indicato con $S_{n}$ . Inoltre, ogni elemento $\alpha$ di $S_{n}$ , viene chiamato permutazione, e viene denotato con

$\begin{displaymath}\left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & \ldots & n\\ \alpha(1) & \alpha(2) & \ldots & \alpha(n) \end{array}\right) .\end{displaymath}$

La composizione di due permutazioni di

, $\alpha\circ \beta$ , verrà indicato anche con $\alpha \beta$ .
Per esempio, se

, si ha:

$\begin{eqnarraystar}S_{3}&=&\left \{ id=\left(\begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 1&2&3 ... ...begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 3&1&2 \end{array}\right) \right \}.\end{eqnarraystar}$

La tavola di moltiplicazione di $S_{3}$ , costruita ponendo nella casella corrispondente all'intersezione della riga di $\sigma$ con la colonna di $\gamma$ il prodotto $\sigma \gamma$ , è la seguente:

$\begin{displaymath}\begin{array}{c\vert\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert ... ...{2} & \sigma_{3} & \sigma_{1} & id & \sigma_{4}\\ \end{array}\end{displaymath}$

Esempio 6 Sia

uno spazio topologico. L'insieme

di tutte le applicazioni su

, biunivoche e bicontinue (cioè tali che

e $f^{-1}$ sono continue), è un gruppo rispetto all'operazione di composizione. Infatti:

la composizione è un'operazione binaria su , ed è associativa;
$id_{X}\in Omeo(X)$ ;
$\forall f\in Omeo(X)$ , $\exists f^{-1}\in Omeo(X)$ .

Proposizione 7 Se e sono due gruppi, con elementi neutri rispettivamente e , il prodotto $G\times G'$ è un gruppo con la seguente operazione:

$\begin{displaymath}(a,a')\cdot (b,b'):=(ab,a'b') \quad \forall a,b\in G,\; \forall a',b'\in G'.\end{displaymath}$

L'elemento neutro è

e $(a,a')^{-1}=(a^{-1},a ^{\prime -1})$ .
Dimostrazione

L'associatività del prodotto segue dall'associatività delle due operazioni di e ;
per ogni $(a,a')\in G\times G'$ , $(a,a')\cdot (1,1')=(a,a')=(1,1')\cdot (a,a')$ ;
per ogni $(a,a')\in G\times G'$ , $(a,a')\cdot (a^{-1},a^{\prime -1})=(1,1')=(a^{-1},a^{\prime-1})\cdot(a,a')$ .