Teorema 1   Siano $G$ un gruppo, $K$ un sottogruppo normale di $G$, e $H$ un sottogruppo di $G$ contenente $K$; allora $H/K$ è un sottogruppo di $G/K$. Inoltre, se

\begin{displaymath}\mathcal{A}=\{H\mid H \;\mbox{ sottogruppo di G} ,\;H\supseteq K\}\end{displaymath}

e

\begin{displaymath}\mathcal{B}=\{H'\mid H'\;\mbox{sottogruppo di G/K}\},\end{displaymath}

esiste una corrispondenza biunivoca

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc} \psi:&\mathcal{A}&\longrightarrow &\mathcal{B}\\ & H & \longmapsto & H/K.\end{array}\end{displaymath}

Infine $H$ è normale in $G$ se e solo se $H/K$ è normale in $G/K$. In questo caso si ha

\begin{displaymath}G/H \simeq (G/K)/(H/K).\end{displaymath}

Dimostrazione
Osserviamo che essendo $K$ normale in $G$, è normale anche in ogni sottogruppo $H$ di $G$ che lo contiene, quindi possiamo usare la notazione $H/K$. Per proposizione 3 della sezione "Omomorfismi di gruppi", applicata alla proiezione canonica $\pi:G\longrightarrow G/K$ si ha che $\pi(H)=\{Kh,\;h\in H\}=H/K$ è un sottogruppo di $G/K$. Inoltre, se $H'$ è un sottogruppo di $G/K$, $\pi^{-1}(H')=\cup_{Kx\in H'}Kx$ è un sottogruppo di $G$ che contiene $K$, e si ha $\pi(\pi^{-1}(H'))=H'$ essendo $\pi$ suriettiva; quindi $\psi$ è suriettiva.
Inoltre $\psi$ è iniettiva: siano $H_{1},H_{2}\in \mathcal{A}$, tali che $\psi(H_{1})=\psi(H_{2})$, cioè $H_{1}/K=H_{2}/K$. Allora $\forall h_{1}\in H_{1}$, esiste un $h_{2}\in H_{2}$ tale che $Kh_{1}=Kh_{2}$. Ciò implica $h_{1}\equiv h_{2}\; (modH)$, cioè $h_{1} h_{2}^{-1}=k $, con $k\in K$. Allora $h_{1}=kh_{2} \in H_{2}$. Abbiamo in questo modo provato che $H_{1}\subseteq H_{2}$; in modo analogo si verifica che $H_{2}\subseteq H_{1}$ e quindi si ha $H_{1}=H_{2}$.

$H$ è normale in $G$ se e solo se $H/K$ è normale in $G/K$:
se $H$ è normale, $\forall x\in G \,, \,\forall h\in H$, $KxKhKx^{-1}=Kxhx^{-1}\in H/K$, poiché $xhx^{-1}\in H$. Viceversa se $H/K$ è normale in $G/K$, $\forall Kx\in G/K \, , \, \forall Kh \in H/K$, $KxKhKx^{-1}=Kxhx^{-1}\in H/K$, cioè $Kxhx^{-1}\in H/K \, ,\, \forall x\in G \, , \, \forall h\in H$. Allora $xhx^{-1}\in H \, ,\, \forall x\in G \, , \, \forall h\in H $.

Se $H$ è normale, $G/H \simeq (G/K)/(H/K)$: consideriamo l'applicazione

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc} f:& G/K & \longrightarrow & G/H\\ & Kx & \longmapsto & Hx.\end{array}\end{displaymath}

L'applicazione $f$ è ben definita; infatti se $Kx=Ky$, con $x,y \in G$, $x=ky$, con $k\in K$. Allora $Hx=Hky=Hy$, poiché $k\in H$.
Inoltre $f$ è un omomorfismo in quanto

\begin{displaymath}f(KxKy)=f(Kxy)=Hxy=HxHy=f(Kx)f(Ky),\; \forall Kx,Ky \in G/K,\end{displaymath}

ed è ovviamente suriettiva.
Poiché $\ker f=\{Kx\mid Hx=H\}=\{Kx\mid x\in H\}=H/K$, per il teorema fondamentale di omomorfismo si ha $(G/K)/(H/K) \simeq G/K$.

Teorema 2   Sia $f:G\rightarrow G'$ un omomorfismo di gruppi suriettivo, e sia $K=Kerf$. Allora esiste una corrispondenza biunivoca $\psi$ tra l'insieme dei sottogruppi di $G$ contenenti $K$ e l'insieme dei sottogruppi di $G'$, definita da $\psi(H)=f(H)$. Inoltre $H$ è normale in $G$ se e solo se $f(H)$ è normale in $G'$; in questo caso l'applicazione

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc} g: & G/H & \longrightarrow & G'/f(H)\\ & Ha &\longmapsto & f(H)f(a) \end{array}\end{displaymath}

è un isomorfismo.
Dimostrazione
Segue da corollario 2 della sezione "Teorema fondamentale di omomorfismo di gruppi", e da teorema 1.

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