Proposizione 9   Siano $G$, $G'$, $G''$ gruppi. Allora:
1)
$G \simeq G$;
2)
se $G \simeq G'$, allora $G' \simeq G$;
3)
se $G \simeq G'$ e $G'\simeq G''$, allora $G \simeq G''$.
Dimostrazione
1)
L'applicazione identica su $G$ è un isomorfismo di $G$ in $G$, quindi $G$ è isomorfo a se stesso.
2)
Poiché $G \simeq G'$, esiste un isomorfismo $f:G \rightarrow G'$. Allora $f^{-1}:G' \rightarrow G$ è un isomorfismo, e quindi $G' \simeq G$.
3)
Essendo $G \simeq G'$ e $G'\simeq G''$, esistono due isomorfismi $f:G \rightarrow G'$ e $g:G' \rightarrow G''$. L'applicazione $g\circ f$ è allora un isomorfismo di $G$ in $G''$.

Proposizione 10   Siano $G$ e $G'$ due gruppi isomorfi, e sia $f$ un isomorfismo tra $G$ e $G'$. Allora:
1)
per ogni $x\in G$, $x$ e $f(x)$ hanno lo stesso ordine;
2)
$x$ è un generatore per $G$ se e solo se $f(x)$ è un generatore per $G'$. In particolare $G$ è ciclico se e solo se lo è $G'$;
3)
se $\mathcal{H} := \{H\mid H\; sottogruppo\; di\; G\}$ e $\mathcal{K}:= \{K \mid K\; sottogruppo\; di\; G'\}$, esiste una corrispondenza biunivoca $\psi :\mathcal{H} \rightarrow \mathcal{K}$ tale che $\psi(H) = f(H)$.
Inoltre, se $H$ è un sottogruppo di $G$, $H\simeq f(H)$.
Dimostrazione
Siano $1$ e $1'$ gli elementi neutri di $G$ e $G'$ rispettivamente.
1)
Per ogni $n\in \mathbb{Z} $, per ogni $x\in G$, si ha:

\begin{displaymath}f(x)^{n}=f(x^{n})=1'\; \mbox{se e solo se}\; x^{n}=1;\end{displaymath}

quindi $x$ e $f(x)$ hanno lo stesso periodo.
2)
Sia $G=<a>$; $\forall y\in G'$, esiste $x\in G$, con $y=f(x)$; quindi esiste $n\in \mathbb{Z} $, con $x=a^{n}$, cioè $y=f(a^{n})=f(a)^{n}$, cioè $G'=<f(a)>.$ Il viceversa è analogo.
3)
Le applicazioni

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc}\psi:&\mathcal{H}&\longrightarrow &\mathcal{K}\\ &H&\longmapsto &f(H),\end{array}\end{displaymath}


\begin{displaymath}\begin{array}{cccc} \varphi:&\mathcal{K}&\longrightarrow &\mathcal{H}\\ &K&\longmapsto &f^{-1}(K)\end{array}\end{displaymath}

sono ben definite per proposizione 3 della sezione "Omomorfismi di gruppi". Inoltre $\psi\circ\varphi=id_{\mathcal{K}}$ e $\varphi\circ\psi=id_{\mathcal{H}}$ per la biunivocità di $f$, quindi $\psi$ è biettiva.
Per finire, se $H$ è un sottogruppo di $G$, l'applicazione $\bar{f} : H \rightarrow f(H)$ tale che $\bar{f}(x) = f(x)$ è un isomorfismo di gruppi.

 

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