Esempio 4
Se
è uno spazio vettoriale euclideo di dimensione
,
i
gruppi
e
sono isomorfi.
Infatti, poiché
se e solo se la matrice di
,
rispetto ad una qualsiasi base
ortonormale di
,
è ortogonale, l'applicazione
dell'
esempio 2, scelta
base ortonormale, induce un
isomorfismo di
su
.
Esempio 6
Sia
un campo, e sia
un
-spazio vettoriale di dimensione
.
Il sottogruppo
di
,
è
isomorfo al sottogruppo
;
infatti l'isomorfismo
dell'
esempio 2 induce un isomorfismo di
su
.
Esempio 7
Se
è uno spazio vettoriale hermitiano di dimensione
,
è
isomorfo al gruppo
.
Infatti l'isomorfismo
dell'
esempio 2 induce, scelta
base
ortonormale,
un isomorfismo di
in
in
quanto
sta in
se e solo se la matrice
che la rappresenta rispetto alla base ortonormale
appartiene a
.