Esempio 3   Se $V$ è un $K$-spazio vettoriale di dimensione $n$, l'applicazione $\psi$ dell'esempio 2 induce un isomorfismo del gruppo $SL(V)$ sul gruppo $SL_{n}(K)$.
Infatti $\forall f \in GL(V)$, si ha: $\det(f)=1$ se e solo se $\det(M_{\mathcal{E}}(f))=1$, con $\mathcal{E}$ base di $V$.
Esempio 4   Se $V$ è uno spazio vettoriale euclideo di dimensione $n$, i gruppi $O(V)$ e $O(n)$ sono isomorfi.
Infatti, poiché $f\in O(V)$ se e solo se la matrice di $f$, rispetto ad una qualsiasi base ortonormale di $V$, è ortogonale, l'applicazione $\psi$ dell' esempio 2, scelta $\mathcal{E}$ base ortonormale, induce un isomorfismo di $O(V)$ su $O(n)$.
Esempio 5   Sia $V$ uno spazio vettoriale euclideo di dimensione $n$. I gruppi $SO(V)$ e $SO(n)$ sono isomorfi.
Infatti, scelta $\mathcal{E}$ base ortonormale, $f\in O(V)$ e $\det(f)=1$ se e solo se $M_{\mathcal{E}}(f)\in O(n)$ e $\det(M_{\mathcal{E}}(f))=1$; quindi l'isomorfismo $\psi$ dell' esempio 2 induce un isomorfismo di $SO(V)$ su $SO(n)$.
Esempio 6   Sia $K$ un campo, e sia $V$ un $K$-spazio vettoriale di dimensione $n$. Il sottogruppo

\begin{displaymath}\mathcal{A}=\{A\in GL_{n}(K)\vert\,A=aI_{n}\vert\; a\in K^{*}\}\end{displaymath}

di $GL_{n}(K)$, è isomorfo al sottogruppo $\Omega=\{f\in GL(V)\vert\,f=a\:id_{V}\}$; infatti l'isomorfismo $\psi$ dell'esempio 2 induce un isomorfismo di $\Omega$ su $\mathcal{A}$.
Esempio 7   Se $V$ è uno spazio vettoriale hermitiano di dimensione $n$, $U(V)$ è isomorfo al gruppo $U(n)$.
Infatti l'isomorfismo $\psi$ dell'esempio 2 induce, scelta $\mathcal{E}$ base ortonormale, un isomorfismo di $U(V)$ in $U(n)$ in quanto $f$ sta in $U(V)$ se e solo se la matrice che la rappresenta rispetto alla base ortonormale $\mathcal{E}$ appartiene a $U(n)$.
Esempio 8   Se $V$ è uno spazio vettoriale hermitiano di dimensione $n$, i gruppi $SU(V)$ e $SU(n)$ sono isomorfi.
Infatti, scelta $\mathcal{E}$ base ortonormale, $f\in U(V)$ e $\det(f)=1$ se e solo se $M_{\mathcal{E}}(f)\in U(n)$ e $\det(M_{\mathcal{E}}(f))=1$; quindi l'isomorfismo $\psi$ dell'esempio 2 induce un isomorfismo di $SU(V)$ in $SU(n)$.

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