Esempio 2 Sia

-spazio vettoriale di dimensione

, e sia $\mathcal{E}$ una sua base.
I gruppi

e $GL_{n}(K)$ sono isomorfi.
Infatti, un'applicazione

appartiene a

se e solo se la matrice che la rappresenta rispetto alla base $\mathcal{E}$ , $M_{\mathcal{E}}(f)$ , è un elemento di $GL_{n}(K)$ ; allora l'applicazione biunivoca

$\begin{displaymath}\begin{array}{ccc} \{f\mid f:V\longrightarrow V, lineare\}&\l... ...ow&M_{n}(K)\\ f &\longmapsto &M_{\mathcal{E}}(f) ,\end{array}\end{displaymath}$

induce una corrispondenza biunivoca

$\begin{displaymath}\begin{array}{cccc} \psi: & GL(V) &\longrightarrow &GL_{n}(K)\\ & f &\longmapsto & M_{\mathcal{E}}(f),\end{array}\end{displaymath}$

che è un isomorfismo:

$\begin{displaymath}\psi(f\circ g)=M_{\mathcal{E}}(f\circ g)=M_{\mathcal{E}}(f)\... ...\mathcal{E}}(g)=\psi(f)\cdot \psi(g), \; \forall f,g \in GL(V).\end{displaymath}$