7 OSSERVAZIONE   L'ipotesi dell'iniettività di $\varphi$ è necessaria affinché la definizione di $f$ abbia senso.
Infatti, se $\varphi:\mathbf{V} \longrightarrow \mathbf{V'}$ è un'applicazione lineare non iniettiva, allora se $\mathbf{v} \in \ker \varphi,$ $\mathbf{v} \neq 0,$ ha senso considerare $[\mathbf{v} ] \in \mathbf{P(V)},$ ma non $[\varphi (\mathbf{v})],$ poiché $\varphi (\mathbf{v})=0.$ Perciò $\varphi$ non può indurre un morfismo proiettivo.
Si può però escludere dal dominio di $f$ il proiettivizzato del $\ker \varphi,$ definendo un'applicazione su un sottinsieme di $\mathbf{P(V)}$ in questo modo:


\begin{displaymath}\begin{array}{cccl} f': & \mathbf{P(V)} \setminus \mathbf{P(\... ...mathbf{v} ] & \longmapsto & [\varphi (\mathbf{v})] \end{array}\end{displaymath}

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