composizione di morfismi proiettivi

9 PROPOSIZIONE Se $f:\mathbf{P(V)} \longrightarrow \mathbf{P(V')}$ e $g:\mathbf{P(V')} \longrightarrow \mathbf{P(V'')}$ sono morfismi proiettivi indotti dalle applicazioni lineari iniettive $\varphi$ e $\psi,$ allora $g \circ f:\mathbf{P(V)} \longrightarrow \mathbf{P(V'')}$ è un morfismo proiettivo indotto da $\psi \circ \varphi.$

Dimostrazione
L'applicazione $\psi \circ \varphi:\mathbf{V} \longrightarrow \mathbf{V''}$ è lineare e iniettiva, in quanto composizione di due applicazioni lineari e iniettive; quindi induce il morfismo proiettivo

$\begin{displaymath}\begin{array}{cccl} h: & \mathbf{P(V)} & \longrightarrow & \m... ...& \longmapsto & [\psi \circ \varphi (\mathbf{v}) ] \end{array}\end{displaymath}$

Si vede subito che $h=g \circ f.$

10 OSSERVAZIONE Siano $\mathbf{V},$ $\mathbf{V'}$ $\mathbf{V''}$ $\mathrm{K}$ -spazi vettoriali di dimensione finita. Allora:
a) $\mathbf{P(V)} \simeq \mathbf{P(V)}$ tramite l'isomorfismo $\mathsf{id}_{\mathbf{P(V)}}$ indotto da $\mathsf{id}_{\mathbf{V}}.$
b) Se $\mathbf{P(V)} \simeq \mathbf{P(V')}$ e $\mathbf{P(V')} \simeq \mathbf{P(V'')},$ allora $\mathbf{P(V)} \simeq \mathbf{P(V'')}$ (ciò segue da proposizione 9).

11 PROPOSIZIONE $\;$
a) Due spazi proiettivi $\mathbf{P(V)}$ e $\mathbf{P(W)}$ con $\mathbf{V}$ e $\mathbf{W}$ $\mathrm{K}$ -spazi vettoriali sono isomorfi se e solo se $\dim \mathbf{P(V)}=\dim \mathbf{P(W)}.$
b) Ogni spazio proiettivo $\mathbf{P(V)}$ con $\mathbf{V}$ $\mathrm{K}$ -spazio vettoriale di dimensione

è isomorfo a $\mathbf{P^n} (\mathrm{K}).$

Dimostrazione
Segue immediatamente dal fatto che due $\mathrm{K}$ -spazi vettoriali di dimensione finita sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione.