9 PROPOSIZIONE   Se $f:\mathbf{P(V)} \longrightarrow \mathbf{P(V')}$ e $g:\mathbf{P(V')}
\longrightarrow \mathbf{P(V'')}$ sono morfismi proiettivi indotti dalle applicazioni lineari iniettive $\varphi$ e $\psi,$ allora $g \circ
f:\mathbf{P(V)} \longrightarrow \mathbf{P(V'')}$ è un morfismo proiettivo indotto da $\psi \circ \varphi.$

Dimostrazione
L'applicazione $\psi \circ \varphi:\mathbf{V} \longrightarrow \mathbf{V''}$ è lineare e iniettiva, in quanto composizione di due applicazioni lineari e iniettive; quindi induce il morfismo proiettivo


\begin{displaymath}\begin{array}{cccl}
h: & \mathbf{P(V)} & \longrightarrow & \m...
...& \longmapsto & [\psi \circ \varphi (\mathbf{v}) ]
\end{array}\end{displaymath}

Si vede subito che $h=g \circ f.$

10 OSSERVAZIONE   Siano $\mathbf{V},$ $\mathbf{V'}$ $\mathbf{V''}$ $\mathrm{K}$-spazi vettoriali di dimensione finita. Allora:
a) $\mathbf{P(V)} \simeq \mathbf{P(V)}$ tramite l'isomorfismo $\mathsf{id}_{\mathbf{P(V)}}$ indotto da $\mathsf{id}_{\mathbf{V}}.$
b) Se $\mathbf{P(V)} \simeq \mathbf{P(V')}$ e $\mathbf{P(V')} \simeq \mathbf{P(V'')},$ allora $\mathbf{P(V)} \simeq
\mathbf{P(V'')}$ (ciò segue da proposizione 9).

11 PROPOSIZIONE   $\;$
a) Due spazi proiettivi $\mathbf{P(V)}$ e $\mathbf{P(W)}$ con $\mathbf{V}$ e $\mathbf{W}$ $\mathrm{K}$-spazi vettoriali sono isomorfi se e solo se $\dim \mathbf{P(V)}=\dim \mathbf{P(W)}.$
b) Ogni spazio proiettivo $\mathbf{P(V)}$ con $\mathbf{V}$ $\mathrm{K}$-spazio vettoriale di dimensione $n+1$ è isomorfo a $\mathbf{P^n} (\mathrm{K}).$

Dimostrazione
Segue immediatamente dal fatto che due $\mathrm{K}$-spazi vettoriali di dimensione finita sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione.
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