proprietà degli isomorfismi proiettivi

4 OSSERVAZIONE Se $f:\mathbf{P(V)} \longrightarrow \mathbf{P(V')}$ è un isomorfismo indotto da $\varphi$ , allora

è invertibile, e l'inversa, $f^{-1}:\mathbf{P(V')} \longrightarrow \mathbf{P(V)},$ è un isomorfismo, indotto da $\varphi^{-1}.$

5 DEFINIZIONE Se esiste un isomorfismo di spazi proiettivi $f:\mathbf{P(V)} \longrightarrow \mathbf{P(V')}$ si dice che $\mathbf{P(V)}$ e $\mathbf{P(V')}$ sono isomorfi, e si scrive $\mathbf{P(V)} \simeq \mathbf{P(V')}.$
Se

è un isomorfismo di $\mathbf{P(V)}$ in se stesso si dice che

è una proiettività.

6 ESEMPIO Consideriamo l'applicazione lineare

$\begin{displaymath}\begin{array}{cccl} \varphi : & \mathbf{R^2} & \longrightarro... ... \; & (x_0,x_1) & \longmapsto & (2x_0-x_1,x_0+x_1) \end{array}\end{displaymath}$

Tale applicazione è un isomorfismo, infatti $\mathsf{M}_{\mathcal{E}}(\varphi)=\left( \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$ ha determinante non nullo.
Quindi $\varphi$ induce la proiettività

$\begin{displaymath}\begin{array}{cccl} f: & \mathbf{P^1(R)} & \longrightarrow & ... ... \; & [x_0,x_1] & \longmapsto & [2x_0-x_1,x_0+x_1] \end{array}\end{displaymath}$