isomorfismi proiettivi

3 DEFINIZIONE-PROPOSIZIONE Sia $f:\mathbf{P(V)} \longrightarrow \mathbf{P(V')}$ il morfismo proiettivo indotto da $\varphi:\mathbf{V} \longrightarrow \mathbf{V'}.$
Allora $\varphi$ è un isomorfismo se e solo se

è biettiva.
In questo caso

viene detta isomorfismo (proiettivo) indotto da $\varphi.$

Dimostrazione
Abbiamo già visto che è iniettiva. Quindi, per dimostrare la proposizione, basta far vedere che $\varphi$ è suriettiva se e solo se è suriettiva.
Sia $\varphi$ suriettiva. Allora per ogni $\mathbf{w} \in \mathbf{V'}$ esiste $\mathbf{v} \in \mathbf{V}$ tale che $\mathbf{w}=\varphi (\mathbf{v}),$ quindi per ogni $\mathbf{w} \in \mathbf{V'}$ esiste $\mathbf{v} \in \mathbf{V}$ tale che $[\mathbf{w} ]=[\varphi (\mathbf{v}) ]=f([\mathbf{v} ]),$ cioè è suriettiva.
Sia ora suriettiva. Allora per ogni $[\mathbf{w} ] \in \mathbf{P(V')}$ esiste $[\mathbf{v} ] \in \mathbf{P(V)}$ tale che $f([\mathbf{v} ])=[\mathbf{w} ],$ cioè per ogni $[\mathbf{w} ] \in \mathbf{P(V')}$ esiste $[\mathbf{v} ] \in \mathbf{P(V)}$ tale che $[\varphi (\mathbf{v}) ]=[\mathbf{w} ],$ ovvero per ogni $\mathbf{w} \in \mathbf{V' \setminus \{ 0\}}$ esistono $\mathbf{v} \in \mathbf{V \setminus \{ 0\}}$ e $\lambda \in \mathrm{K}^{\ast}$ tali che $\lambda \varphi (\mathbf{v})=\varphi (\lambda \mathbf{v}) =\mathbf{w},$ quindi $\varphi$ è suriettiva.