sfera di Riemann

6 OSSERVAZIONE Un modello geometrico di $\mathbf{P^1(C)}$ può essere ottenuto per mezzo di un'applicazione chiamata proiezione stereografica.
Consideriamo in $\mathsf{E^3},$ con coordinate

il piano

di equazione

e la sfera $\mathsf{S^2}$ di centro l'origine

e raggio

e denotiamo con

il punto $(0,0,1) \in \mathsf{S^2}.$
Per ogni $P \in \mathsf{S^2} \setminus \{ N \},$ denotiamo con $\sigma (P)$ il punto di

allineato con

e con

Si ottiene cosí una corrispondenza biunivoca

$\begin{displaymath}\begin{array}{cccl} \sigma: & \mathsf{S^2} \setminus \{ N \}... ...{R^2}) \\ \; & P & \longmapsto & NP \cap \{ z=0 \} \end{array}\end{displaymath}$

chiamata proiezione stereografica di $\mathsf{S^2}$ su

Sia $P=(x',y',z') \in \mathsf{S^2} \setminus \{ N \}$

quindi $z' \neq 1).$
Poiché la retta

ha equazioni parametriche $\left\{ \begin{array}{l} x=x't \\ y=y't \\ z=(z'-1)t+1 \end{array} \right.,$ intersecando con

si vede che $\sigma (P)$ è il punto $(\frac{x'}{1-z'},\frac{y'}{1-z'},0).$
Viceversa: dato $Q \in p,$ la retta

non è esterna ad $\mathsf{S^2},$ poiché $N \in NQ \cap \mathsf{S^2},$ né è tangente, poiché $NQ \not\in \{z=1\}$

che è il piano tangente ad $\mathsf{S^2}$ in

Quindi

è secante, pertanto $NQ \cap \mathsf{S^2}$ è costituita da due punti, di cui uno è

Dunque la $\sigma$ si inverte, ed ha inversa

$\begin{displaymath}\begin{array}{cccl} \sigma^{-1}: & p & \longrightarrow & \ma... ...ngmapsto & (QN \cap \mathsf{S^2}) \setminus \{N\} \end{array}.\end{displaymath}$

Analiticamente poi si vede che $\sigma^{-1}(u,v,0)=(\frac{2u}{u^2+v^2+1}, \frac{2v}{u^2+v^2+1}, \frac{u^2+v^2-1}{u^2+v^2+1}).$ L'applicazione $\sigma$ consente quindi di rappresentare la sfera $\mathsf{S^2}$ come il piano a cui è stato aggiunto il punto Inoltre, se identifichiamo con $\mathbf{C}$ con l'applicazione

$\begin{displaymath}\begin{array}{cccl} \alpha: & p & \longrightarrow & \mathbf{C} \\ \; & (u,v,0) & \longmapsto & u+iv \end{array}\end{displaymath}$

e ricordiamo che $\mathbf{P^1(C)}$ è identificabile a $\mathbf{C} \cup \{\infty\}$ (esempio 5 della sezione "Completamento di uno spazio affine"), otteniamo un'applicazione biunivoca

$\begin{displaymath}\begin{array}{cccl} \tilde{\sigma}: & \mathsf{S^2} & \longri... ...rac{x'}{1-z'}+i\frac{y'}{1-z'}=\frac{x'+iy'}{1-z'} \end{array}\end{displaymath}$

In effetti il punto può essere interpretato come "punto all'infinito" di poiché all'allontanarsi di $Q \in p$ dall'origine cioè al tendere di $\Vert \overline{OQ} \Vert$ all'infinito, $\sigma^{-1}(Q)$ si avvicina ad
La sfera fornisce in questo modo un modello geometrico di $\mathbf{P^1(C)},$ chiamato sfera di Riemann.