punti e iperpiani impropri

3 OSSERVAZIONE L'applicazione

$\begin{displaymath}\begin{array}{cccl} \tilde{j}_0: & \mathbf{A^n} & \longrightarrow & \mathbf{P^n} \\ \; & P & \longmapsto & j_0 (P) \end{array}\end{displaymath}$

è iniettiva, e risulta, identificando $\mathbf{A^n}$ con $\tilde{j}_0 (\mathbf{A^n})$ e con $\mathbf{A^n},$

$\begin{displaymath}\mathbf{P^n}=\tilde{j}_0 (\mathbf{A^n}) \cup H_0=\tilde{j}_0 ... ...\mathsf{giac} \mathbf{A^n})=\mathbf{A^n} \cup \mathbf{P^{n-1}}.\end{displaymath}$

Per ottenere $\mathbf{P^n},$ abbiamo cioè aggiunto ad $\mathbf{A^n}$ l'insieme delle rette per l'origine; in altre parole, $\mathbf{P^n}$ si ottiene aggiungendo ad $\mathbf{A^n}$ le direzioni delle sue rette.

4 DEFINIZIONE I punti di

sono chiamati punti impropri di $\mathbf{P^n}$ rispetto a

o a $\tilde{j}_0),$ i punti di $\mathbf{P^n} \setminus H_0 =U_0$ punti propri rispetto a

o a $\tilde{j}_0);$

è detto iperpiano improprio rispetto a

o a $\tilde{j}_0).$
Si dice che $\tilde{j}_0$ permette di completare o ampliare un

-spazio affine $\mathbf{A^n}$ ad un $\mathbf{P^n},$ aggiungendo i punti impropri.

5 ESEMPIO In $\mathbf{P^1} (\mathrm{K})$ sarà $H_0=\{ [0,1]\};$ tale punto viene spesso denotato col simbolo $\infty.$
Se si identifica $\mathbf{A^1}(\mathrm{K})$ con $\mathrm{K},$ risulterà $\mathbf{P^1} (\mathrm{K})=\mathrm{K} \cup \{ \infty \}.$ Pertanto talvolta si usa una sola coordinata non omogenea su $\mathbf{P^1} (\mathrm{K}),$ tenendo conto dell'inclusione.