applicazione di passaggio a coordinate (non) omogenee

1 OSSERVAZIONE È facile generalizzare gli esempi 8 e 9 della sezione "Definizione di spazio proiettivo". Consideriamo $\mathbf{P^n}=\mathbf{P^n}(\mathrm{K})=\mathbf{P}(\mathrm{K^{n+1}})$ come l'insieme delle rette affini di $\mathbf{A^{n+1}}$ passanti per l'origine: ogni punto $[x_0,x_1,\ldots,x_n] \in \mathbf{P^n}$ corrisponde alla retta di $\mathbf{A^{n+1}}$ costituita dai punti $(\lambda x_0,\lambda x_1,\ldots,\lambda x_n)$ al variare di $\lambda \in \mathrm{K}.$
I punti $P \in H_0$ corrispondono alle rette contenute nell'iperpiano affine di equazione

Chiamiamo tale iperpiano

Consideriamo l'iperpiano affine

di $\mathbf{A^{n+1}}$ di equazione

cioè $Y=\{ (1,y_1,\ldots,y_n) \in \mathbf{A^{n+1}} :y_1,\ldots,y_n \in \mathrm{K} \}.$
Ogni punto

corrisponde ad una retta affine di $\mathbf{A^{n+1}}$ passante per

che chiamiamo

tale retta non è parallela ad

quindi $OQ \not\subset x_0=0).$ Infatti se $Q=(1,y_1,\ldots,y_n),$ allora sarà $OQ=\{ (\lambda,\lambda y_1,\ldots,\lambda y_n):\lambda \in \mathrm{K} \}.$
Viceversa, ogni retta $r \subset \mathbf{A^{n+1}}$ passante per

ad eccezione delle rette parallele ad

corrisponde a un punto di

che è il punto $r \cap Y.$
Le rette parallele ad

passanti per

sono le rette contenute nell'iperpiano

Si ottiene cosí una corrispondenza biunivoca

$\begin{displaymath}\begin{array}{cccl} j: & Y & \longrightarrow & \mathbf{P^n} \... ...,y_1,\ldots,y_n) & \longmapsto & [1,y_1,\ldots,y_n] \end{array}\end{displaymath}$

con inversa:

$\begin{displaymath}\begin{array}{cccl} j^{-1}: & \mathbf{P^n} \setminus H_0 & \l... ...c{x_1}{x_0},\frac{x_2}{x_0},\ldots,\frac{x_n}{x_0}) \end{array}\end{displaymath}$

L'applicazione

induce pertanto una corrispondenza biunivoca tra $Y \cup H_0$ e $\mathbf{P^n}.$
Si noti inoltre che i punti di

sono le rette vettoriali di $\mathrm{K^{n+1}}$ contenute nella giacitura di

che è appunto l'iperpiano vettoriale

In poche parole: $H_0=\mathbf{P}(\mathsf{giac}Y),$ e si ha quindi una biezione naturale

$\begin{displaymath}Y \cup \mathbf{P}(\mathsf{giac}Y) \longleftrightarrow \mathbf{P^n}.\end{displaymath}$

Si osservi che

possono essere sostituiti da un qualsiasi iperpiano $\mathbf{P}(H)$ di $\mathbf{P^n}$ e da un iperpiano affine di $\mathbf{A^{n+1}}$ avente giacitura

e non passante per l'origine.
Se nella costruzione precedente identifichiamo

con $\mathbf{A^n},$ utilizzando l'applicazione biunivoca

$\begin{displaymath}\begin{array}{cccl} g: & \mathbf{A^n} & \longrightarrow & Y, ... ...(y_1,\ldots,y_n) & \longmapsto & (1,y_1,\ldots,y_n) \end{array}\end{displaymath}$

componendo

con

otteniamo l'applicazione biunivoca

$\begin{displaymath}\begin{array}{cccc} j_0=j \circ g: & \mathbf{A^n} & \longrigh... ...(y_1,\ldots,y_n) & \longmapsto & [1,y_1,\ldots,y_n] \end{array}\end{displaymath}$

la cui inversa è

$\begin{displaymath}\begin{array}{cccl} j_{0}^{-1}: & \mathbf{P^n} \setminus H_0 ... ...c{x_1}{x_0},\frac{x_2}{x_0},\ldots,\frac{x_n}{x_0}) \end{array}\end{displaymath}$