9 ESEMPIO   Completamento del piano affine reale
Consideriamo $\mathbf{P^2(R)}$, che è stato definito come l'insieme delle rette di $\mathbf{A^3(R)}$ passanti per l'origine, e sia $H$ il piano di $\mathbf{A^3(R)}$ di equazione $z=1.$

Allora abbiamo la corrispondenza biunivoca


\begin{displaymath}\begin{array}{ccl}
\mathbf{P^2(R)} = \{ \mbox{rette di } \mat...
...x{ che \\lq e una direzione
del piano } \{ z = 1 \}
\end{array}\end{displaymath}

Essendo poi il piano $\{ z = 1 \}$ in corrispondenza biunivoca con il piano affine reale $\mathbf{A^2(R)}$, possiamo dire che l'insieme dei punti di $\mathbf{P^2(R)}$ è in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei punti di $\mathbf{A^2(R)}$ e delle direzioni delle rette di $\mathbf{A^2(R)}.$
In questo modo abbiamo "allargato" $\mathbf{A^2(R)}$ per evitare alcune eccezioni (per esempio: due rette in un piano affine si incontrano in un punto o sono parallele), chiamando "punti" tutti i punti di $\mathbf{A^2(R)}$ e anche tutte le direzioni delle rette di $\mathbf{A^2(R)}$.

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