completamento del piano affine

9 ESEMPIO Completamento del piano affine reale
Consideriamo $\mathbf{P^2(R)}$ , che è stato definito come l'insieme delle rette di $\mathbf{A^3(R)}$ passanti per l'origine, e sia

il piano di $\mathbf{A^3(R)}$ di equazione

Allora abbiamo la corrispondenza biunivoca

$\begin{displaymath}\begin{array}{ccl} \mathbf{P^2(R)} = \{ \mbox{rette di } \mat... ...x{ che \\lq e una direzione del piano } \{ z = 1 \} \end{array}\end{displaymath}$

Essendo poi il piano $\{ z = 1 \}$ in corrispondenza biunivoca con il piano affine reale $\mathbf{A^2(R)}$ , possiamo dire che l'insieme dei punti di $\mathbf{P^2(R)}$ è in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei punti di $\mathbf{A^2(R)}$ e delle direzioni delle rette di $\mathbf{A^2(R)}.$
In questo modo abbiamo "allargato" $\mathbf{A^2(R)}$ per evitare alcune eccezioni (per esempio: due rette in un piano affine si incontrano in un punto o sono parallele), chiamando "punti" tutti i punti di $\mathbf{A^2(R)}$ e anche tutte le direzioni delle rette di $\mathbf{A^2(R)}$ .