spazi proiettivi su un campo finito

10 OSSERVAZIONE Sia $\mathrm{K}$ un campo finito con

elementi, e $\mathbf{P(V)}$ uno spazio proiettivo di dimensione n su $\mathrm{K}$ . Allora

$\begin{displaymath}\char93 (\mathbf{P(V)}) = \frac{ k^{n+1}-1}{k-1}.\end{displaymath}$

Infatti

$\begin{displaymath}\char93 (\mathbf{P(V)}) = \char93 (\mbox{rette di } \mathbf{... ...\mbox{eccetto lo } \{\mathbf{0} \} )} = \frac{ k^{n+1}-1}{k-1},\end{displaymath}$

dato che $\char93 (\mathrm{K}^{n+1})=k^{n+1}$ , e ogni retta ha

elementi, essendo stata tolta l'origine.

11 ESEMPIO Ogni retta proiettiva su $\mathbf{Z_2}$ ha tre punti, infatti

$\begin{displaymath}\char93 (\mathbf{P(V)}) = \frac{ 2^{n+1}-1}{2-1} = 4-1 = 3,\end{displaymath}$

e ogni piano proiettivo su $\mathbf{Z_2}$ ha 7 punti:

$\begin{displaymath}\frac{2^{2+1}-1}{2-1} = \frac{8-1}{1} = 7.\end{displaymath}$