dimensione

5 DEFINIZIONE La dimensione di $\mathbf{P(V)}$ è definita come $\dim \mathbf{V} - 1,$ e si denota con $\dim \mathbf{P(V)}.$
Tale definizione è piuttosto naturale, poichè $\mathbf{P(V)},$ essendo un insieme di rette di $\mathbf{V},$ deve avere dimensione minore di uno rispetto a $\mathbf{V}.$

6 ESEMPI $\; \;$

Se $\dim \mathbf{V}=0$ , cioè $\mathbf{V}=\{\mathbf{0} \}$ , si ha $\mathbf{P(V)}=\emptyset$ , perché $\mathbf{V}$ non possiede sottospazi di dimensione uno. Si può quindi considerare l'insieme vuoto $\emptyset$ come spazio proiettivo di dimensione -1 su un qualunque campo $\mathrm{K}$ .
Se $\dim \mathbf{V}=1$ , $\mathbf{P(V)}$ possiede un solo punto, $\mathbf{V}$ stesso, e $\mathsf{dim} \mathbf{P(V)}=0$ ; uno spazio proiettivo di dimensione 0 consiste dunque di un solo punto.
Gli esempi piú importanti di spazi proiettivi si ottengono considerando $\mathbf{V}=\mathrm{K}^{n+1}$ . Lo spazio $\mathbf{P}(\mathrm{K}^{n+1})$ si denota con $\mathbf{P}^{n}(\mathrm{K}),$ o semplicemente con $\mathbf{P^{n}}$ se non c'è possibilità di equivoco.
È uno spazio proiettivo di dimensione n, e si chiama l'n-spazio proiettivo numerico, o lo spazio proiettivo standard n-dimensionale sul campo $\mathrm{K}$ .
Dato $(x_{0},x_1,\ldots,x_n)\in \mathrm{K}^{n+1} \backslash \{\mathbf{0}\}$ , denoteremo con $[x_0,x_1,\ldots,x_n]$ il punto corrispondente di $\mathbf{P^{n}}$ (che è, come visto nell'osservazione 3, in corrispondenza biunivoca con la classe $[(x_0,x_1,\ldots,x_n)]_{\sim}$ ).
Si ha $[x_0,x_1,\ldots,x_n]=[y_0,y_1,\ldots,y_n] \Leftrightarrow \exists \lambda \in \mathrm{K}^{\ast} : y_i = \lambda x_i \; \; \forall i=0,1,\ldots,n$ .

7 DEFINIZIONE Uno spazio proiettivo è detto reale se $\mathrm{K} = \mathbf{R},$ complesso se $\mathrm{K} = \mathbf{C}.$
Gli spazi proiettivi 1- e 2-dimensionali sono detti rispettivamente rette proiettive e piani proiettivi.

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