DEFINIZIONE DI SPAZIO PROIETTIVO

1 DEFINIZIONE Nel seguito $\mathrm{K}$ denoterà sempre un campo fissato e $\mathbf{V}$ un $\mathrm{K}$ -spazio vettoriale di dimensione

Lo spazio proiettivo su $\mathrm{K}$ associato a $\mathbf{V}$ è l'insieme $\mathbf{P(V)}$ i cui elementi, chiamati punti di $\mathbf{P(V)},$ sono i sottospazi vettoriali di dimensione uno di $\mathbf{V}$ , cioè le rette vettoriali di $\mathbf{V}$ ; $\mathbf{P(V)}$ è anche chiamato proiettivizzazione (o proiettivizzato) di $\mathbf{V}$ .

2 OSSERVAZIONE Ogni $\mathbf{v \in V\backslash \{0\} }$ genera il sottospazio di $\mathbf{V}$ di dimensione uno $<\mathbf{v} >=\{ \lambda \mathbf{v} :\lambda \in \mathrm{K} \}$ . Quando lo considereremo come un punto di $\mathbf{P(V)}$ , denoteremo questo sottospazio col simbolo $[\mathbf{v} ]$ .
Si nota subito che due vettori $\mathbf{v}$ , $\mathbf{w} \in \mathbf{V\backslash \{0\}}$ definiscono lo stesso punto di $\mathbf{P(V)}$ , cioè $[\mathbf{v}]=[\mathbf{w}]$ se e solo se esiste $\lambda \in \mathrm{K}$ , $\lambda \neq 0,$ tale che $\mathbf{w}= \lambda \mathbf{v}$ .

3 OSSERVAZIONE C'è una corrispondenza biunivoca naturale tra $\mathbf{P(V)}$ e l'insieme quoziente $\mathbf{V \backslash \{0\}} / \sim$ , dove $\sim$ è la relazione di equivalenza seguente:
$\mathbf{v} \sim \mathbf{w}$ se e solo se esiste $\lambda \in \mathrm{K} ^{\ast }$ tale che $\mathbf{v}= \lambda \mathbf{w}$ , cioè:

$\begin{displaymath}\begin{array}{ccc} \mathbf{P(V)} & \longleftrightarrow & \ma... ...bf{w} ]} & \longleftrightarrow & [\mathbf{w} ]_\sim \end{array}\end{displaymath}$

Possiamo allora identificare $\mathbf{P(V)}$ con $\mathbf{V \backslash \{0\}} / \sim$ , scrivendo $\mathbf{P(V)} = \mathbf{V \backslash \{0\}}/\sim.\;$ È per questo motivo che i punti di $\mathbf{P(V)}$ sono indicati, solitamente, racchiudendo un elemento di $\mathbf{V \backslash \{0\}}$ fra parentesi quadre: $[\;\cdot\;]$ . Tale scrittura indica una classe di equivalenza, e il puntino fra parentesi quadre un suo rappresentante.

Dimostrazione
Vale l'uguaglianza $\mathbf{v} = 1\cdot \mathbf{v},$ quindi $\sim$ è riflessiva.
Se $\mathbf{v}= \lambda \mathbf{w}$ , allora $\mathbf{w} = (1/\lambda) \mathbf{v},$ quindi $\sim$ è simmetrica.
Se $\mathbf{v}= \lambda \mathbf{w}$ e $\mathbf{w} = \mu \mathbf{z}$ , allora $\mathbf{v} = \lambda \mu \mathbf{z},$ quindi $\sim$ è transitiva.