Siano $(u,v,0)$ le coordinate di $Q \in p$ ed $(x,y,z)$ le coordinate di $\sigma^{-1}(Q)=P \in \mathsf{S^2} \setminus \{N\}.$
I vettori $\overrightarrow{NP}:\; =P-N$ ed $\overrightarrow{NQ}:\; =Q-N$ sono allineati per costruzione, cioè $\overrightarrow{NP}=\lambda \overrightarrow{NQ};$ vediamo quali sono le coordinate di tali vettori:
$\overrightarrow{NP}=(x,y,z)-(0,0,1)=(x,y,z-1)$
$\overrightarrow{NQ}=(u,v,o)-(0,0,1)=(u,v,-1).$
Quindi $\overrightarrow{NP}=\lambda \overrightarrow{NQ}$ se e solo se $(x,y,z-1)=\lambda (u,v,-1)$ cioè se e solo se $(x,y,z-1)=(\lambda u,\lambda v,-\lambda),$ dunque se e solo se

$$(x,y,z)=(\lambda u,\lambda v,-\lambda+1). \; \; (\ast)$$

Ma il punto $P \in \mathsf{S^2} \setminus \{N\},$ quindi $x^2+y^2+z^2=1.$ Pertanto $\lambda^2 u^2+\lambda^2 v^2 +(1-\lambda)^2=1.$ La precedente è un'equazione di secondo grado in $\lambda$ dipendente da $u$ e $v;$ una soluzione è $\lambda=0,$ ma per $\lambda=0$ risulta $P=N,$ che non appartiene al codominio di $\sigma^{-1}.$
Quindi cerchiamo l'altra soluzione di tale equazione:
$\lambda^2 u^2+\lambda^2 v^2+1+\lambda^2 -2\lambda -1=0$ se e solo se $\lambda (\lambda(u^2+v^2+1)-2)=0,$ dunque se e solo se $(\lambda \neq 0) \; \lambda =\frac{2}{u^2+v^2+1}.$
Quindi $P=\sigma^{-1}(Q)=(x,y,z)\stackrel{(\ast)}{=}(\frac{2u}{u^2+v^2+1}, \frac{2v}{u... ...+1)=(\frac{2u}{u^2+v^2+1}, \frac{2v}{u^2+v^2+1}, \frac{u^2+v^2-1}{u^2+v^2+1}).$